ચોરસ શ્રેણિકનો ટ્રેસ (trace) તેના વિકર્ણ ઘટકો | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$. $A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ $\lambda^2 - 	ext{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$ દ્વારા આપવામાં

Vedclass · Accepted Answer

$5$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$. $A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ $\lambda^2 - 	ext{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ છે કે $	ext{tr}(A) = a+d = 3$ અને ધારો કે $\Delta = \det(A) = ad-bc$. તેથી,લાક્ષણિક સમીકરણ $\lambda^2 - 3\lambda + \Delta = 0$ છે. કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,$A^2 - 3A + \Delta I = 0$,જેનો અર્થ છે કે $A^2 = 3A - \Delta I$. $A$ વડે ગુણતા,આપણને $A^3 = 3A^2 - \Delta A$ મળે છે. સમીકરણમાં $A^2 = 3A - \Delta I$ મૂકતા: $A^3 = 3(3A - \Delta I) - \Delta A = 9A - 3\Delta I - \Delta A = (9 - \Delta)A - 3\Delta I$. બંને બાજુ ટ્રેસ લેતા: $	ext{tr}(A^3) = (9 - \Delta)	ext{tr}(A) - 3\Delta 	ext{tr}(I)$. કારણ કે $	ext{tr}(A^3) = -18$,$	ext{tr}(A) = 3$,અને $	ext{tr}(I) = 2$ ($2 	imes 2$ શ્રેણિક માટે): $-18 = (9 - \Delta)(3) - 3\Delta(2)$. $-18 = 27 - 3\Delta - 6\Delta$. $-18 = 27 - 9\Delta$. $9\Delta = 27 + 18 = 45$. $\Delta = 5$. આમ,$A$ નો નિશ્ચાયક $5$ છે.

Similar Questions

નીચે આપેલા શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક (rank) શોધો:
$A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 \\ 2 & 9 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 10 & -3 \\ 1 & 11 & -1 & 9 \end{bmatrix}$

જો $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 4 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 8 \end{bmatrix}$ હોય,તો $A$ નો શ્રેણીક (rank) શોધો.

ધારો કે $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 2\cos^2 x & \sin(2x) & -\sin x \\ \sin(2x) & 2\sin^2 x & \cos x \\ \sin x & -\cos x & 0 \end{array} \right|$. તો,$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} [f(x) + f'(x)] dx$ ની કિંમત શોધો.

$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \sin^2 x & -2 + \cos^2 x & \cos 2x \\ 2 + \sin^2 x & \cos^2 x & \cos 2x \\ \sin^2 x & \cos^2 x & 1 + \cos 2x \end{array} \right|, x \in [0, \pi]$. તો $f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $.....$ છે.

જો $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 2 \cos^2 x & \sin 2x & \sin x \\ \sin 2x & 2 \sin^2 x & -\cos x \\ \sin x & -\cos x & 0 \end{array} \right|$ હોય, તો $\int_0^{\frac{\pi}{4}} (2|f(x)| + 5f'(x)) \, dx$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module