दो धनात्मक संख्याओं $a$ और $b$ के $A.M.$ और $G.M.$ का अनुपात $m: n$ है। सिद्ध कीजिए कि $a: b = (m + \sqrt{m^{2} - n^{2}}) : (m - \sqrt{m^{2} - n^{2}}).$

माना कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
$A.M. = \frac{a+b}{2}$ और $G.M. = \sqrt{ab}.$
दी गई शर्त के अनुसार,
$\frac{a+b}{2\sqrt{ab}} = \frac{m}{n}$
$\Rightarrow \frac{(a+b)^{2}}{4ab} = \frac{m^{2}}{n^{2}}$
$\Rightarrow (a+b)^{2} = \frac{4abm^{2}}{n^{2}}$
$\Rightarrow a+b = \frac{2\sqrt{ab}m}{n} \quad \dots(1)$
सर्वसमिका $(a-b)^{2} = (a+b)^{2} - 4ab$ का उपयोग करने पर,
$(a-b)^{2} = \frac{4abm^{2}}{n^{2}} - 4ab = \frac{4ab(m^{2}-n^{2})}{n^{2}}$
$\Rightarrow a-b = \frac{2\sqrt{ab}\sqrt{m^{2}-n^{2}}}{n} \quad \dots(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,$2a = \frac{2\sqrt{ab}}{n}(m + \sqrt{m^{2}-n^{2}}),$
$\Rightarrow a = \frac{\sqrt{ab}}{n}(m + \sqrt{m^{2}-n^{2}}).$
$a$ का मान $(1)$ में रखने पर,हमें $b = \frac{\sqrt{ab}}{n}(m - \sqrt{m^{2}-n^{2}})$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{a}{b} = \frac{m + \sqrt{m^{2}-n^{2}}}{m - \sqrt{m^{2}-n^{2}}}.$
इस प्रकार,$a:b = (m + \sqrt{m^{2}-n^{2}}) : (m - \sqrt{m^{2}-n^{2}}).$