एक $A.P.$ के $m$ और $n$ पदों के योग का अनुपात $m^{2}: n^{2}$ है। दर्शाइए कि $m$ वें और $n$ वें पद का अनुपात $(2m-1):(2n-1)$ है।

(N/A) माना $A.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
दिया गया है कि $m$ पदों के योग और $n$ पदों के योग का अनुपात $\frac{m^2}{n^2}$ है।
$\frac{\frac{m}{2}[2a + (m-1)d]}{\frac{n}{2}[2a + (n-1)d]} = \frac{m^2}{n^2}$
$\frac{2a + (m-1)d}{2a + (n-1)d} = \frac{m}{n}$
हमें $m$ वें पद और $n$ वें पद का अनुपात ज्ञात करना है,जो $\frac{a + (m-1)d}{a + (n-1)d}$ है।
इस रूप को प्राप्त करने के लिए,समीकरण के बाईं ओर के अंश और हर को $2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a + \frac{(m-1)}{2}d}{a + \frac{(n-1)}{2}d} = \frac{m}{n}$
पदों की तुलना करते हुए,हम अनुपात $\frac{2a+(m-1)d}{2a+(n-1)d} = \frac{m}{n}$ में $m$ के स्थान पर $(2m-1)$ और $n$ के स्थान पर $(2n-1)$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{2a + (2m-1-1)d}{2a + (2n-1-1)d} = \frac{2m-1}{2n-1}$
$\frac{2a + (2m-2)d}{2a + (2n-2)d} = \frac{2m-1}{2n-1}$
$\frac{2[a + (m-1)d]}{2[a + (n-1)d]} = \frac{2m-1}{2n-1}$
$\frac{a + (m-1)d}{a + (n-1)d} = \frac{2m-1}{2n-1}$
अतः,$m$ वें पद और $n$ वें पद का अनुपात $(2m-1):(2n-1)$ सिद्ध होता है।