सदिश $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ का सदिशों $\vec{b} = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} - 5 \hat{k}$ और $\vec{c} = \lambda \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ के योग की दिशा में इकाई सदिश के साथ अदिश गुणनफल $1$ है। तो,$\lambda =$

$ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\max \{AB, BC, AC\} = BC$ है। यदि $B$ और $C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$ और $5\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}$ हैं,तो $AB \cdot AC + BA \cdot BC + CA \cdot CB$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक सदिश $\overrightarrow{a} = \alpha \hat{i} + 2 \hat{j} + \beta \hat{k}$ (जहाँ $\alpha, \beta \in R$) सदिशों $\overrightarrow{b} = \hat{i} + \hat{j}$ और $\overrightarrow{c} = \hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k}$ के समतल में स्थित है। यदि $\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{c}$ के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है,तो:

यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ और $\vec{d}$ इकाई सदिश इस प्रकार हैं कि $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = 1$ और $\vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{1}{2}$ है,तो :-

$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$ यदि और केवल यदि . . . . . . (जहाँ $\vec{a} \neq \vec{0}, \vec{b} \neq \vec{0}$).

यदि $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ क्रमशः $2, 3$ और $4$ परिमाण वाले सदिश हैं, तो दिए गए मानों में से $|\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{c}-\vec{a}|^2$ का सर्वोत्तम ऊपरी सीमा (upper bound) क्या है?