समुच्चय {n(n+1)(2n+1) : n in mathbb{Z}} किसका | vedclass

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Question

(A) माना $f(n) = n(n+1)(2n+1)$.हम जानते हैं कि $n(n+1)(2n+1) = n(n+1)(n-1+n+2) = n(n+1)(n-1) + n(n+1)(n+2)$.प्रत्येक पद $n(n+1)(n-1)$ और $n(n+1)(n+2)$

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$\{6k : k \in \mathbb{Z}\}$

Vedclass · Answer

(A) माना $f(n) = n(n+1)(2n+1)$.हम जानते हैं कि $n(n+1)(2n+1) = n(n+1)(n-1+n+2) = n(n+1)(n-1) + n(n+1)(n+2)$.प्रत्येक पद $n(n+1)(n-1)$ और $n(n+1)(n+2)$ तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है।तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा $3! = 6$ से विभाज्य होता है।इसलिए, $n(n+1)(n-1) = 6k_1$ और $n(n+1)(n+2) = 6k_2$ किसी पूर्णांक $k_1, k_2$ के लिए।अतः, $f(n) = 6(k_1 + k_2) = 6k$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए।इसलिए, यह समुच्चय $\{6k : k \in \mathbb{Z}\}$ का उपसमुच्चय है।

$(i)$ $\{1, 2, 3, 6\}$	$(a)$ $\{x : x \text{ एक अभाज्य संख्या है और } 6 \text{ का भाजक है}\}$
$(ii)$ $\{2, 3\}$	$(b)$ $\{x : x \text{ एक विषम प्राकृत संख्या है जो } 10 \text{ से कम है}\}$
$(iii)$ $\{M, A, T, H, E, I, C, S\}$	$(c)$ $\{x : x \text{ एक प्राकृत संख्या है और } 6 \text{ का भाजक है}\}$
$(iv)$ $\{1, 3, 5, 7, 9\}$	$(d)$ $\{x : x \text{ शब्द } MATHEMATICS \text{ का एक अक्षर है}\}$

समुच्चय $\{n(n+1)(2n+1) : n \in \mathbb{Z}\}$ किसका उपसमुच्चय है?

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${2, 6, 10}$ और ${3, 7, 11}$ असंयुक्त (disjoint) समुच्चय हैं।

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