एक त्रिभुज की भुजाएँ तीन क्रमागत प्राकृतिक सं | vedclass

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Question

(D) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = n$,$b = n + 1$,और $c = n + 2$ हैं,जहाँ $n$ एक प्राकृतिक संख्या है।चूँकि $c > b > a$,कोण $C$ सबसे बड़ा और $A$ सबसे छोटा

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$4, 5, 6$

Vedclass · Answer

(D) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = n$,$b = n + 1$,और $c = n + 2$ हैं,जहाँ $n$ एक प्राकृतिक संख्या है।चूँकि $c > b > a$,कोण $C$ सबसे बड़ा और $A$ सबसे छोटा है। दिया है $C = 2A$।ज्या नियम (Sine Rule) से,$\sin A = \frac{a}{2R}$ और $\sin C = \frac{c}{2R}$।$C = 2A$ होने के कारण,$\sin C = 2 \sin A \cos A$,जिससे $\cos A = \frac{c}{2a}$ प्राप्त होता है।कोज्या नियम (Cosine Rule) से,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$।दोनों को बराबर करने पर: $\frac{c}{2a} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \implies c^2 b = a(b^2 + c^2 - a^2)$।मान रखने पर: $(n + 1)(n + 2)^2 = n((n + 1)^2 + (n + 2)^2 - n^2)$।सरल करने पर: $(n + 1)(n^2 + 4n + 4) = n(n^2 + 6n + 5) = n(n + 1)(n + 5)$।$n+1$ को काटने पर: $(n + 2)^2 = n(n + 5) \implies n^2 + 4n + 4 = n^2 + 5n \implies n = 4$।अतः भुजाएँ $4, 5, 6$ हैं।

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