2 units त्रिज्या वाले अर्धवृत्त के भीतर अंकि | vedclass

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Question

(A) माना अर्धवृत्त की त्रिज्या $R = 2$ है। माना आयत की लंबाई $2x$ और चौड़ाई $y$ है जो अर्धवृत्त के भीतर अंकित है।पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, $x^2 + y^

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$\sqrt{2}$

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(A) माना अर्धवृत्त की त्रिज्या $R = 2$ है। माना आयत की लंबाई $2x$ और चौड़ाई $y$ है जो अर्धवृत्त के भीतर अंकित है।पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, $x^2 + y^2 = R^2 = 2^2 = 4$ है।अतः, $x = \sqrt{4 - y^2}$ है।आयत का क्षेत्रफल $A = (2x) 	imes y = 2y \sqrt{4 - y^2}$ है।$A$ को अधिकतम करने के लिए, हम $A^2 = 4y^2(4 - y^2) = 16y^2 - 4y^4$ को अधिकतम करते हैं।माना $f(y) = 16y^2 - 4y^4$ है। $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $f'(y) = 32y - 16y^3$ प्राप्त होता है।$f'(y) = 0$ रखने पर, हमें $16y(2 - y^2) = 0$ प्राप्त होता है।चूंकि $y > 0$ है, इसलिए $y^2 = 2$, जिससे $y = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।तब $x = \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2}$ है।आयत की भुजाएं $2x = 2\sqrt{2}$ और $y = \sqrt{2}$ हैं।अतः, छोटी भुजा की लंबाई $\sqrt{2}$ है।

$2 \ units$ त्रिज्या वाले अर्धवृत्त के भीतर अंकित सबसे बड़े क्षेत्रफल वाले आयत की छोटी भुजा की लंबाई क्या है?

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