frac{d y}{d x}+frac{1}{x}=frac{e^y}{x^2} का ह | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}+\frac{1}{x}=\frac{e^y}{x^2}$ है।दोनों पक्षों को $e^y$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $e^{-y} \frac{

Vedclass · Accepted Answer

$2 x=\left(1+C x^2\right) e^y$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}+\frac{1}{x}=\frac{e^y}{x^2}$ है।दोनों पक्षों को $e^y$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $e^{-y} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} e^{-y} = \frac{1}{x^2} \quad \dots (i)$.माना $e^{-y} = v$ है। तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$-e^{-y} \frac{d y}{d x} = \frac{d v}{d x}$,या $e^{-y} \frac{d y}{d x} = -\frac{d v}{d x}$ प्राप्त होता है।इस मान को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$-\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = \frac{1}{x^2}$,जिसे सरल करने पर $\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = -\frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है।यह $\frac{d v}{d x} + P(x) v = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{1}{x}$ और $Q(x) = -\frac{1}{x^2}$ है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) d x} = e^{\int -\frac{1}{x} d x} = e^{-\log x} = e^{\log(x^{-1})} = \frac{1}{x}$ है।हल $v \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) d x + C$ द्वारा दिया जाता है।$v \cdot \frac{1}{x} = \int \left(-\frac{1}{x^2}\right) \cdot \frac{1}{x} d x + C$.$\frac{v}{x} = -\int x^{-3} d x + C = -\left(\frac{x^{-2}}{-2}\right) + C = \frac{1}{2 x^2} + C$.$2x^2$ से गुणा करने पर,$2 x v = 1 + 2 C x^2$ प्राप्त होता है। माना $2C = C'$,तो $2 x v = 1 + C' x^2$ होगा।$v = e^{-y}$ रखने पर,$2 x e^{-y} = 1 + C' x^2$ प्राप्त होता है।$e^y$ से गुणा करने पर,$2 x = (1 + C' x^2) e^y$ प्राप्त होता है।

$\frac{d y}{d x}+\frac{1}{x}=\frac{e^y}{x^2}$ का हल ज्ञात कीजिए।

Similar Questions

अवकल समीकरण $(x^2+1) \frac{dy}{dx} + xy = x^3$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $(\tan ^{-1} y - x) dy = (1 + y^2) dx$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) . . . . . . है।

अवकल समीकरण $(1+x) \frac{dy}{dx} - xy = 1-x$ का हल है

अवकल समीकरण $x^2 \frac{dy}{dx} \cos \frac{1}{x} - y \sin \frac{1}{x} = -1$ का हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $x \rightarrow \infty$ होने पर $y \rightarrow -1$ है।

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module