(x^2+y^2) dx = 2xy dy का हल ज्ञात कीजिए: | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2+y^2) dx = 2xy dy$ है। इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर, $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{2xy}$ प्राप्त होता है। यह एक समघातीय

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$c(x^2-y^2) = x$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2+y^2) dx = 2xy dy$ है। इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर, $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{2xy}$ प्राप्त होता है। यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$, तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$। इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + (vx)^2}{2x(vx)} = \frac{x^2(1+v^2)}{2x^2v} = \frac{1+v^2}{2v}$। $x \frac{dv}{dx} = \frac{1+v^2}{2v} - v = \frac{1+v^2-2v^2}{2v} = \frac{1-v^2}{2v}$। चरों को अलग करने पर: $\frac{2v}{1-v^2} dv = \frac{1}{x} dx$। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{2v}{1-v^2} dv = \int \frac{1}{x} dx$। माना $1-v^2 = t$, तब $-2v dv = dt$। $-\int \frac{dt}{t} = \log|x| + \log|c|$। $-\log|1-v^2| = \log|cx|$। $\log|\frac{1}{1-v^2}| = \log|cx| \Rightarrow \frac{1}{1-v^2} = cx$। $v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\frac{1}{1-(y^2/x^2)} = cx \Rightarrow \frac{x^2}{x^2-y^2} = cx$। $x = c(x^2-y^2)$।

$(x^2+y^2) dx = 2xy dy$ का हल ज्ञात कीजिए:

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