अवकल समीकरण x dy - y dx = sqrt{x^2+y^2} dx का | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x dy - y dx = \sqrt{x^2+y^2} dx$ $\ldots$ $(i)$$x dx$ से भाग देने पर: $x \frac{dy}{dx} - y = \sqrt{x^2+y^2}$.माना $y = vx$,

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$\left(x^2-y\right)^2=x^2+y^2$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x dy - y dx = \sqrt{x^2+y^2} dx$ $\ldots$ $(i)$$x dx$ से भाग देने पर: $x \frac{dy}{dx} - y = \sqrt{x^2+y^2}$.माना $y = vx$, तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.समीकरण में मान रखने पर: $x(v + x \frac{dv}{dx}) - vx = \sqrt{x^2 + (vx)^2}$.$vx + x^2 \frac{dv}{dx} - vx = x \sqrt{1+v^2}$.$x^2 \frac{dv}{dx} = x \sqrt{1+v^2} \Rightarrow \frac{dv}{\sqrt{1+v^2}} = \frac{dx}{x}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln(v + \sqrt{1+v^2}) = \ln x + C$.$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\ln(\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^2}{x^2}}) = \ln x + C$.$\ln(\frac{y + \sqrt{x^2+y^2}}{x}) = \ln x + C \Rightarrow \ln(\frac{y + \sqrt{x^2+y^2}}{x^2}) = C$.दिया है कि $x=\sqrt{3}$ पर $y=1$: $\ln(\frac{1 + \sqrt{3+1}}{3}) = C \Rightarrow \ln(\frac{1+2}{3}) = C \Rightarrow \ln(1) = C \Rightarrow C = 0$.अतः, $\ln(\frac{y + \sqrt{x^2+y^2}}{x^2}) = 0 \Rightarrow \frac{y + \sqrt{x^2+y^2}}{x^2} = 1$.$y + \sqrt{x^2+y^2} = x^2 \Rightarrow \sqrt{x^2+y^2} = x^2 - y$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2 + y^2 = (x^2 - y)^2$.

अवकल समीकरण $x dy - y dx = \sqrt{x^2+y^2} dx$ का हल ज्ञात कीजिए, जहाँ $x=\sqrt{3}$ होने पर $y=1$ है।

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