વિકલ સમીકરણ x dy - y dx = sqrt{x^2+y^2} dx નો | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x dy - y dx = \sqrt{x^2+y^2} dx$ $\ldots$ $(i)$$x dx$ વડે ભાગતા: $x \frac{dy}{dx} - y = \sqrt{x^2+y^2}$.ધારો કે $y = vx$, તેથી

Vedclass · Accepted Answer

$\left(x^2-y\right)^2=x^2+y^2$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x dy - y dx = \sqrt{x^2+y^2} dx$ $\ldots$ $(i)$$x dx$ વડે ભાગતા: $x \frac{dy}{dx} - y = \sqrt{x^2+y^2}$.ધારો કે $y = vx$, તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $x(v + x \frac{dv}{dx}) - vx = \sqrt{x^2 + (vx)^2}$.$vx + x^2 \frac{dv}{dx} - vx = x \sqrt{1+v^2}$.$x^2 \frac{dv}{dx} = x \sqrt{1+v^2} \Rightarrow \frac{dv}{\sqrt{1+v^2}} = \frac{dx}{x}$.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln(v + \sqrt{1+v^2}) = \ln x + C$.$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\ln(\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^2}{x^2}}) = \ln x + C$.$\ln(\frac{y + \sqrt{x^2+y^2}}{x}) = \ln x + C \Rightarrow \ln(\frac{y + \sqrt{x^2+y^2}}{x^2}) = C$.આપેલ છે કે $x=\sqrt{3}$ ત્યારે $y=1$: $\ln(\frac{1 + \sqrt{3+1}}{3}) = C \Rightarrow \ln(\frac{1+2}{3}) = C \Rightarrow \ln(1) = C \Rightarrow C = 0$.તેથી, $\ln(\frac{y + \sqrt{x^2+y^2}}{x^2}) = 0 \Rightarrow \frac{y + \sqrt{x^2+y^2}}{x^2} = 1$.$y + \sqrt{x^2+y^2} = x^2 \Rightarrow \sqrt{x^2+y^2} = x^2 - y$.બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2 + y^2 = (x^2 - y)^2$.

વિકલ સમીકરણ $x dy - y dx = \sqrt{x^2+y^2} dx$ નો ઉકેલ શોધો, જ્યાં $x=\sqrt{3}$ હોય ત્યારે $y=1$ છે.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $(x^2+y^2) dx - 5xy dy = 0$,$y(1)=0$ નો ઉકેલ શોધો :

$f(x, y) = \frac{1}{x + y}$ એ કેટલા ઘાતનું સમપરિમાણીય વિધેય છે?

નીચેનામાંથી કયા વિધેયો સમપરિમાણીય (homogeneous) છે?

વિકલ સમીકરણ $(x^2 - y^2) \, dx + 2xy \, dy = 0$ નું સમાધાન કરતો અને બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થતો વક્ર કયો છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module