વિકલ સમીકરણ (x^2 - y^2) , dx + 2xy , dy = 0 ન | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2 - y^2) \, dx + 2xy \, dy = 0$ છે.આને $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x^2}{2xy}$ તરીકે લખી શકાય.આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ હો

Vedclass · Accepted Answer

એક ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2 - y^2) \, dx + 2xy \, dy = 0$ છે.આને $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x^2}{2xy}$ તરીકે લખી શકાય.આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ હોવાથી,$y = ux$ લેતા,$\frac{dy}{dx} = u + x \frac{du}{dx}$ મળે.સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $u + x \frac{du}{dx} = \frac{u^2 x^2 - x^2}{2x(ux)} = \frac{u^2 - 1}{2u}$.$x \frac{du}{dx} = \frac{u^2 - 1}{2u} - u = \frac{u^2 - 1 - 2u^2}{2u} = \frac{-(1 + u^2)}{2u}$.ચલનું અલગીકરણ કરતા: $\int \frac{2u}{1 + u^2} \, du = - \int \frac{1}{x} \, dx$.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln(1 + u^2) = -\ln|x| + \ln|C|$.$\ln(1 + u^2) = \ln\left(\frac{C}{x}\right) \Rightarrow 1 + u^2 = \frac{C}{x}$.$u = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $1 + \frac{y^2}{x^2} = \frac{C}{x} \Rightarrow \frac{x^2 + y^2}{x^2} = \frac{C}{x} \Rightarrow x^2 + y^2 = Cx$.વક્ર બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $1^2 + 1^2 = C(1) \Rightarrow C = 2$.આમ,વક્રનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 2x$ છે,જેને $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ તરીકે લખી શકાય.આ $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.

વિકલ સમીકરણ $(x^2 - y^2) \, dx + 2xy \, dy = 0$ નું સમાધાન કરતો અને બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થતો વક્ર કયો છે?

Similar Questions

$\frac{dy}{dx} = \frac{y + x \tan(\frac{y}{x})}{x} \Rightarrow \sin(\frac{y}{x}) = $

નીચેનામાંથી કયું સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે?

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} = y(\log y - \log x + 1)$ નો ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module