अवकल समीकरण (x^2 - y^2) , dx + 2xy , dy = 0 क | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 - y^2) \, dx + 2xy \, dy = 0$ है।इसे $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x^2}{2xy}$ के रूप में लिखा जा सकता है।चूंकि यह एक समघ

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एक त्रिज्या वाला एक वृत्त

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(B) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 - y^2) \, dx + 2xy \, dy = 0$ है।इसे $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x^2}{2xy}$ के रूप में लिखा जा सकता है।चूंकि यह एक समघात अवकल समीकरण है,हम $y = ux$ रखते हैं,जिससे $\frac{dy}{dx} = u + x \frac{du}{dx}$ प्राप्त होता है।समीकरण में मान रखने पर: $u + x \frac{du}{dx} = \frac{u^2 x^2 - x^2}{2x(ux)} = \frac{u^2 - 1}{2u}$।$x \frac{du}{dx} = \frac{u^2 - 1}{2u} - u = \frac{u^2 - 1 - 2u^2}{2u} = \frac{-(1 + u^2)}{2u}$।चरों को अलग करने पर: $\int \frac{2u}{1 + u^2} \, du = - \int \frac{1}{x} \, dx$।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln(1 + u^2) = -\ln|x| + \ln|C|$।$\ln(1 + u^2) = \ln\left(\frac{C}{x}\right) \Rightarrow 1 + u^2 = \frac{C}{x}$।$u = \frac{y}{x}$ रखने पर: $1 + \frac{y^2}{x^2} = \frac{C}{x} \Rightarrow \frac{x^2 + y^2}{x^2} = \frac{C}{x} \Rightarrow x^2 + y^2 = Cx$।चूंकि वक्र बिंदु $(1, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $1^2 + 1^2 = C(1) \Rightarrow C = 2$।अतः,वक्र का समीकरण $x^2 + y^2 = 2x$ है,जिसे $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।यह $1$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।

अवकल समीकरण $(x^2 - y^2) \, dx + 2xy \, dy = 0$ को संतुष्ट करने वाला और बिंदु $(1, 1)$ से गुजरने वाला वक्र है

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