y(1) = 0 के साथ x frac{dy}{dx} = y + x e^{y/x | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} = y + x e^{y/x}$ है।$x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + e^{y/x}$ प्राप्त होता है।यह एक सम

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$e^{-y/x} + \log x = 1$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} = y + x e^{y/x}$ है।$x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + e^{y/x}$ प्राप्त होता है।यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ होगा।इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v + e^v$ प्राप्त होता है।इसे सरल करने पर $x \frac{dv}{dx} = e^v$ या $e^{-v} dv = \frac{1}{x} dx$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^{-v} dv = \int \frac{1}{x} dx$,जिससे $-e^{-v} = \log x + c$ प्राप्त होता है।$v = y/x$ रखने पर,हमें $-e^{-y/x} = \log x + c$ प्राप्त होता है।शर्त $y(1) = 0$ दी गई है,इसलिए $x = 1$ और $y = 0$ रखने पर: $-e^0 = \log 1 + c$,जिसका अर्थ है $-1 = 0 + c$,अतः $c = -1$ है।इस प्रकार,$-e^{-y/x} = \log x - 1$,जिसे सरल करने पर $e^{-y/x} + \log x = 1$ प्राप्त होता है।

$y(1) = 0$ के साथ $x \frac{dy}{dx} = y + x e^{y/x}$ का हल क्या है?

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