अवकल समीकरण (xy + y^2) dx - (x^2 - 2xy) dy = | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(xy + y^2) dx - (x^2 - 2xy) dy = 0$ पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{xy + y^2}{x^2 - 2xy}$ अंश और हर को $x

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$cxy^2 e^{\frac{x}{y}} = 1$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(xy + y^2) dx - (x^2 - 2xy) dy = 0$ पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{xy + y^2}{x^2 - 2xy}$ अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{y}{x} + (\frac{y}{x})^2}{1 - 2(\frac{y}{x})}$ माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$। समीकरण में मान रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{v + v^2}{1 - 2v}$ $x\frac{dv}{dx} = \frac{v + v^2}{1 - 2v} - v = \frac{v + v^2 - v + 2v^2}{1 - 2v} = \frac{3v^2}{1 - 2v}$ चरों को अलग करने पर: $(\frac{1 - 2v}{3v^2}) dv = \frac{dx}{x} \Rightarrow (\frac{1}{3v^2} - \frac{2}{3v}) dv = \frac{dx}{x}$ दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (\frac{1}{3}v^{-2} - \frac{2}{3v}) dv = \int \frac{1}{x} dx$ $-\frac{1}{3v} - \frac{2}{3} \ln|v| = \ln|x| + C_1$ $v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $-\frac{x}{3y} - \frac{2}{3} \ln(\frac{y}{x}) = \ln|x| + C_1$ $3$ से गुणा करने पर: $-\frac{x}{y} - 2(\ln y - \ln x) = 3\ln x + 3C_1$ $-\frac{x}{y} = 3\ln x + 2\ln y - 2\ln x + C_2 = \ln x + 2\ln y + C_2 = \ln(xy^2) + C_2$ $-\frac{x}{y} = \ln(Cxy^2) \Rightarrow e^{-\frac{x}{y}} = Cxy^2$ अतः,$Cxy^2 e^{\frac{x}{y}} = 1$।

अवकल समीकरण $(xy + y^2) dx - (x^2 - 2xy) dy = 0$ का व्यापक हल है

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