अवकल समीकरण x^2 frac{dy}{dx} = x^2 + xy + y^2 | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण एक समघातीय अवकल समीकरण है: $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + xy + y^2}{x^2} = 1 + \frac{y}{x} + \left( \frac{y}{x} \right)^2$. $y = vx$

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$	an^{-1} \left( \frac{y}{x} ight) = \log x + c$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया समीकरण एक समघातीय अवकल समीकरण है: $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + xy + y^2}{x^2} = 1 + \frac{y}{x} + \left( \frac{y}{x} ight)^2$. $y = vx$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है। इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = 1 + v + v^2$. सरल करने पर,$x \frac{dv}{dx} = 1 + v^2$ प्राप्त होता है। चरों को पृथक करने पर: $\frac{dv}{1 + v^2} = \frac{dx}{x}$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dv}{1 + v^2} = \int \frac{dx}{x}$. इससे $	an^{-1}(v) = \log |x| + c$ प्राप्त होता है। $v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर,$	an^{-1} \left( \frac{y}{x} ight) = \log |x| + c$ प्राप्त होता है।

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