अवकल समीकरण x + yfrac{dy}{dx} = 2y का हल है | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $x + y\frac{dy}{dx} = 2y$ है।पदों को व्यवस्थित करने पर,$y\frac{dy}{dx} = 2y - x$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{2y - x}

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$\log (y - x) = c + \frac{x}{y - x}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण $x + y\frac{dy}{dx} = 2y$ है।पदों को व्यवस्थित करने पर,$y\frac{dy}{dx} = 2y - x$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{2y - x}{y}$।यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{2vx - x}{vx} = \frac{2v - 1}{v}$।$x\frac{dv}{dx} = \frac{2v - 1}{v} - v = \frac{2v - 1 - v^2}{v} = -\frac{(v - 1)^2}{v}$।चरों को अलग करने पर: $\frac{v}{(v - 1)^2} dv = -\frac{dx}{x}$।आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{v}{(v - 1)^2} = \frac{v - 1 + 1}{(v - 1)^2} = \frac{1}{v - 1} + \frac{1}{(v - 1)^2}$।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \left( \frac{1}{v - 1} + \frac{1}{(v - 1)^2} \right) dv = -\int \frac{dx}{x}$।$\log |v - 1| - \frac{1}{v - 1} = -\log |x| + c$।चूंकि $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $v - 1 = \frac{y - x}{x}$।$\log |\frac{y - x}{x}| + \log |x| = \frac{1}{\frac{y - x}{x}} + c$।$\log |y - x| = \frac{x}{y - x} + c$।

अवकल समीकरण $x + y\frac{dy}{dx} = 2y$ का हल है

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