अवकल समीकरण (3xy + y^2)dx + (x^2 + xy)dy = 0 | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(3xy + y^2)dx + (x^2 + xy)dy = 0$ है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{3xy + y^2}{x^2 + xy}$ प्राप्त ह

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$x^2(2xy + y^2) = c^2$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(3xy + y^2)dx + (x^2 + xy)dy = 0$ है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{3xy + y^2}{x^2 + xy}$ प्राप्त होता है। यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$। इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = -\frac{3x^2v + x^2v^2}{x^2 + x^2v} = -\frac{3v + v^2}{1 + v}$। $x\frac{dv}{dx} = -\frac{3v + v^2}{1 + v} - v = -\frac{3v + v^2 + v + v^2}{1 + v} = -\frac{2v^2 + 4v}{1 + v} = -\frac{2v(v + 2)}{v + 1}$। चरों को अलग करने पर: $\frac{v + 1}{v(v + 2)} dv = -\frac{2}{x} dx$। आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{v + 1}{v(v + 2)} = \frac{A}{v} + \frac{B}{v + 2} \Rightarrow v + 1 = A(v + 2) + Bv$। $v = 0$ के लिए,$A = 1/2$ और $v = -2$ के लिए,$B = 1/2$ प्राप्त होता है। अतः,$\int (\frac{1}{2v} + \frac{1}{2(v + 2)}) dv = -\int \frac{2}{x} dx$। $\frac{1}{2} \ln|v| + \frac{1}{2} \ln|v + 2| = -2 \ln|x| + C'$। $\ln|v(v + 2)x^4| = C'' \Rightarrow v(v + 2)x^4 = c^2$। $v = y/x$ रखने पर: $\frac{y}{x}(\frac{y}{x} + 2)x^4 = c^2 \Rightarrow y(y + 2x)x^2 = c^2 \Rightarrow x^2(y^2 + 2xy) = c^2$।

अवकल समीकरण $(3xy + y^2)dx + (x^2 + xy)dy = 0$ का हल है

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