प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं में से एक साथ दो स | vedclass

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Question

(A) हम जानते हैं कि प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग का वर्ग इस प्रकार है:${\left( \sum_{r=1}^{n} r \right)}^2 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2

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$\frac{1}{24}n(n - 1)(n + 1)(3n + 2)$

Vedclass · Answer

(A) हम जानते हैं कि प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग का वर्ग इस प्रकार है:${\left( \sum_{r=1}^{n} r \right)}^2 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 = \sum_{r=1}^{n} r^2 + 2 \sum_{1 \le s एक साथ दो संख्याएँ लेने पर उनके गुणनफलों का योग ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:$2 \sum_{s वर्गों के योग का सूत्र $\sum r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ प्रतिस्थापित करने पर:$2 \sum_{s $\frac{n(n+1)}{12}$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:$2 \sum_{s $2 \sum_{s द्विघात व्यंजक $(3n^2 - n - 2) = (n-1)(3n+2)$ का गुणनखंड करने पर:$2 \sum_{s $2$ से विभाजित करने पर:$\sum_{s < t} st = \frac{1}{24}n(n - 1)(n + 1)(3n + 2)$.

प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं में से एक साथ दो संख्याएँ लेने पर उनके सभी गुणनफलों का योग क्या होगा?

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