अनंत श्रेणी cot ^{-1}left(frac{7}{4}right)+co | vedclass

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Question

(D) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \cot^{-1}\left(\frac{4n^2+3}{4}ight) = 	an^{-1}\left(\frac{4}{4n^2+3}ight)$ है।इसे हम $T_n = 	an^{-1}\left(\frac

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$\frac{\pi}{2}-	an ^{-1}\left(\frac{1}{2}ight)$

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(D) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \cot^{-1}\left(\frac{4n^2+3}{4}ight) = 	an^{-1}\left(\frac{4}{4n^2+3}ight)$ है।इसे हम $T_n = 	an^{-1}\left(\frac{(2n+1)-(2n-1)}{1+(2n+1)(2n-1)}ight)$ के रूप में लिख सकते हैं।सूत्र $	an^{-1}x - 	an^{-1}y = 	an^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}ight)$ का उपयोग करने पर,हमें $T_n = 	an^{-1}(2n+1) - 	an^{-1}(2n-1)$ प्राप्त होता है।प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^n (	an^{-1}(2k+1) - 	an^{-1}(2k-1))$ है।यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $S_n = 	an^{-1}(2n+1) - 	an^{-1}(1)$।जब $n 	o \infty$,तब $S_{\infty} = \lim_{n 	o \infty} 	an^{-1}(2n+1) - 	an^{-1}(1) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$।ध्यान दें कि $	an^{-1}(1/2) = \frac{\pi}{2} - \cot^{-1}(1/2)$।विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही उत्तर $\frac{\pi}{2} - 	an^{-1}(2)$ है,जो $	an^{-1}(1/2)$ के बराबर है।

अनंत श्रेणी $\cot ^{-1}\left(\frac{7}{4}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{19}{4}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{39}{4}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{67}{4}\right)+\ldots \ldots$ का योग है :-

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$\lim _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{3 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 15} + \ldots + n \text{ पद} \right) =$

श्रेणी का योग ज्ञात कीजिए: $1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \dots + n \cdot n!$

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