n पदों तक श्रेणी 1^2 cdot 2 + 2^2 cdot 3 + 3^ | vedclass

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Question

(B) श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = n^2(n + 1) = n^3 + n^2$ है। $n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n k^3 + \sum_{k=1}^n k^2$ है। मानक यो

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$\frac{n(n + 1)(3n^2 + 7n + 2)}{12}$

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(B) श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = n^2(n + 1) = n^3 + n^2$ है। $n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n k^3 + \sum_{k=1}^n k^2$ है। मानक योग सूत्रों का उपयोग करते हुए,$S_n = \left[ \frac{n(n + 1)}{2} \right]^2 + \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$। $\frac{n(n + 1)}{2}$ को कॉमन लेने पर,$S_n = \frac{n(n + 1)}{2} \left[ \frac{n(n + 1)}{2} + \frac{2n + 1}{3} \right]$। कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{3n^2 + 3n + 4n + 2}{6} = \frac{3n^2 + 7n + 2}{6}$। अतः,$S_n = \frac{n(n + 1)(3n^2 + 7n + 2)}{12}$।

$n$ पदों तक श्रेणी $1^2 \cdot 2 + 2^2 \cdot 3 + 3^2 \cdot 4 + \dots$ का योग क्या है?

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$\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{(n + 1)}^2}}}{{{7^n}}}}$ का मान क्या है?

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