श्रेणी binom{20}{0} - binom{20}{1} + binom{20 | vedclass

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Question

(D) माना $S = \binom{20}{0} - \binom{20}{1} + \binom{20}{2} - \dots + \binom{20}{10}$.हम जानते हैं कि $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$.अतः,$\binom{20}{

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$\frac{1}{2} \binom{20}{10}$

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(D) माना $S = \binom{20}{0} - \binom{20}{1} + \binom{20}{2} - \dots + \binom{20}{10}$.हम जानते हैं कि $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$.अतः,$\binom{20}{0} = \binom{20}{20}$,$\binom{20}{1} = \binom{20}{19}$,...,$\binom{20}{9} = \binom{20}{11}$.$(1-1)^{20} = \sum_{r=0}^{20} (-1)^r \binom{20}{r} = 0$ पर विचार करें।इससे प्राप्त होता है: $\binom{20}{0} - \binom{20}{1} + \dots - \binom{20}{9} + \binom{20}{10} - \binom{20}{11} + \dots + \binom{20}{20} = 0$.समरूपता का उपयोग करने पर: $\binom{20}{0} - \binom{20}{1} + \dots - \binom{20}{9} + \binom{20}{10} - \binom{20}{9} + \dots + \binom{20}{0} = 0$.$2[\binom{20}{0} - \binom{20}{1} + \dots - \binom{20}{9}] + \binom{20}{10} = 0$.माना $X = \binom{20}{0} - \binom{20}{1} + \dots - \binom{20}{9}$. तब $2X + \binom{20}{10} = 0$,अतः $X = -\frac{1}{2} \binom{20}{10}$.अभीष्ट योग $S = X + \binom{20}{10} = -\frac{1}{2} \binom{20}{10} + \binom{20}{10} = \frac{1}{2} \binom{20}{10}$ है।

सूची-$I$	सूची-$II$
$(A)$ $a_0 + a_2 + \ldots + a_{2n}$	$(I)$ $n \cdot 3^{n-1}$
$(B)$ $a_1 + a_3 + \ldots + a_{2n-1}$	$(II)$ $n \cdot 3^n$
$(C)$ $a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2n a_{2n}$	$(III)$ $\frac{1}{2}(3^n + 1)$
	$(IV)$ $\frac{1}{2}(3^n - 1)$

श्रेणी $\binom{20}{0} - \binom{20}{1} + \binom{20}{2} - \binom{20}{3} + \dots + \binom{20}{10}$ का योग क्या है?

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मान लीजिए $\alpha = \sum_{k=0}^n \left( \frac{({ }^n C_k)^2}{k+1} \right)$ और $\beta = \sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{{ }^n C_k \cdot { }^n C_{k+1}}{k+2} \right)$ है। यदि $5 \alpha = 6 \beta$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $(1 + x)^{15} = C_0 + C_1x + C_2x^2 + ...... + C_{15}x^{15}$ है,तो $C_2 + 2C_3 + 3C_4 + .... + 14C_{15} = $

$\frac{^{100}C_{50}}{51} + \frac{^{100}C_{51}}{52} + \dots + \frac{^{100}C_{100}}{101}$ का मान ज्ञात कीजिए:

$^nC_0 - \frac{1}{2} ^nC_1 + \frac{1}{3} ^nC_2 - \dots + (-1)^n \frac{^nC_n}{n+1} = $

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