श्रेणी 1^2 + (1^2 + 3^2) + (1^2 + 3^2 + 5^2) | vedclass

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Question

(A) श्रेणी का $r$-वां पद $t_r = 1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2r - 1)^2$ है।$t_r = \sum_{k=1}^r (2k - 1)^2 = \sum_{k=1}^r (4k^2 - 4k + 1)$.मानक योग सूत्र

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$\frac{1}{6}n(n + 1)(2n^2 + 2n - 1)$

Vedclass · Answer

(A) श्रेणी का $r$-वां पद $t_r = 1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2r - 1)^2$ है।$t_r = \sum_{k=1}^r (2k - 1)^2 = \sum_{k=1}^r (4k^2 - 4k + 1)$.मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:$t_r = 4 \cdot \frac{r(r+1)(2r+1)}{6} - 4 \cdot \frac{r(r+1)}{2} + r$.इस व्यंजक को सरल करने पर:$t_r = \frac{4r^3 - r}{3}$.$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{r=1}^n t_r = \sum_{r=1}^n \frac{4r^3 - r}{3} = \frac{4}{3} \sum_{r=1}^n r^3 - \frac{1}{3} \sum_{r=1}^n r$.$S_n = \frac{4}{3} \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 - \frac{1}{3} \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]$.$S_n = \frac{n(n+1)}{6} [2n(n+1) - 1] = \frac{1}{6} n(n+1)(2n^2 + 2n - 1)$.

श्रेणी $1^2 + (1^2 + 3^2) + (1^2 + 3^2 + 5^2) + \dots$ के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

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श्रेणी $1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + 4 \times 5 + \ldots$ के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

माना $u_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left[ \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n \right]$,$n = 0, 1, 2, ...$ के लिए,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

${1^2} + {3^2} + {5^2} + \dots + {25^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

सिद्ध कीजिए कि $\frac{1 \times 2^{2}+2 \times 3^{2}+\ldots+n \times(n+1)^{2}}{1^{2} \times 2+2^{2} \times 3+\ldots+n^{2} \times(n+1)}=\frac{3 n+5}{3 n+1}$

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