श्रेणी 1 cdot 3^2 + 2 cdot 5^2 + 3 cdot 7^2 + | vedclass

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Question

(A) इस श्रेणी का $n$ वां पद $T_n = n(2n + 1)^2$ है।इसका विस्तार करने पर,$T_n = n(4n^2 + 4n + 1) = 4n^3 + 4n^2 + n$ प्राप्त होता है।$n$ पदों का योग $S_

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$\frac{n}{6}(n + 1)(6n^2 + 14n + 7)$

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(A) इस श्रेणी का $n$ वां पद $T_n = n(2n + 1)^2$ है।इसका विस्तार करने पर,$T_n = n(4n^2 + 4n + 1) = 4n^3 + 4n^2 + n$ प्राप्त होता है।$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n (4k^3 + 4k^2 + k)$ है।मानक योग सूत्रों $\sum k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$,$\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,और $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:$S_n = 4 \left[ \frac{n^2(n+1)^2}{4} \right] + 4 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] + \frac{n(n+1)}{2}$.$S_n = n^2(n+1)^2 + \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{n(n+1)}{2}$.$\frac{n(n+1)}{6}$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:$S_n = \frac{n(n+1)}{6} [6n(n+1) + 4(2n+1) + 3]$.$S_n = \frac{n(n+1)}{6} [6n^2 + 6n + 8n + 4 + 3] = \frac{n(n+1)}{6} (6n^2 + 14n + 7)$.

श्रेणी $1 \cdot 3^2 + 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 7^2 + \dots$ के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

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