int_0^1 frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} d x का मान है | vedclass

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Question

(A) हमें समाकलन $I = \int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} d x$ का मान ज्ञात करना है।सबसे पहले,अंश का विस्तार करें: $x^4(1-x)^4 = x^8-4x^7+6x^6-4x^5+x^4$.

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{22}{7}-\pi$

Vedclass · Answer

(A) हमें समाकलन $I = \int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} d x$ का मान ज्ञात करना है।सबसे पहले,अंश का विस्तार करें: $x^4(1-x)^4 = x^8-4x^7+6x^6-4x^5+x^4$.अब,$x^8-4x^7+6x^6-4x^5+x^4$ को $x^2+1$ से विभाजित करने पर:$x^8-4x^7+6x^6-4x^5+x^4 = (x^2+1)(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4) - 4$.अतः,$\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} = x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4 - \frac{4}{1+x^2}$.प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:$I = \int_0^1 (x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4) dx - \int_0^1 \frac{4}{1+x^2} dx$.$I = \left[ \frac{x^7}{7} - \frac{2x^6}{3} + x^5 - \frac{4x^3}{3} + 4x ight]_0^1 - 4[	an^{-1}(x)]_0^1$.$I = \left( \frac{1}{7} - \frac{2}{3} + 1 - \frac{4}{3} + 4 ight) - 4(\frac{\pi}{4}) = \frac{22}{7} - \pi$.

$\int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} d x$ का मान है

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यदि $f(x) = \begin{cases} 2x^2 + 1, & x \leq 1 \\ 4x^3 - 1, & x > 1 \end{cases}$ है, तो $\int_{0}^{2} f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^1 \sqrt{\frac{2+x}{2-x}} \, dx =$

$\int_{0}^{3} \sqrt{9 - x^2} dx =$

यदि $\int_0^1 f(x) dx = 1$,$\int_0^1 x f(x) dx = a$ और $\int_0^1 x^2 f(x) dx = a^2$ है,तो $\int_0^1 (x-a)^2 f(x) dx$ का मान क्या होगा?

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} x \sec^2 x \, dx =$

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