અંતરાલ $[0,1]$ માં $f(x)=e^{x}+24$ માટે લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ $c$ નું મૂલ્ય શું છે?

વિધેય $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$ એ $[1, 3]$ અંતરાલમાં રોલના પ્રમેયની શરતોનું પાલન કરે છે. તો $a$ અને $b$ ની કિંમતો અનુક્રમે શું હશે?

ધારો કે $f(x) = |1 - x|$ જ્યાં $1 \le x \le 2$ અને $g(x) = f(x) + b \sin(\frac{\pi}{2}x)$ જ્યાં $1 \le x \le 2$ છે,તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

ધારો કે $f:(a, b) \rightarrow R$ એ બે વાર વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(x) = \int_{a}^{x} g(t) \, dt$ એ વિકલનીય વિધેય $g(x)$ માટે છે. જો $f(x) = 0$ ને $(a, b)$ માં બરાબર પાંચ ભિન્ન બીજ હોય,તો $g(x) g'(x) = 0$ ને ઓછામાં ઓછા:

નીચેના વિધેયો માટે મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) ની લાગુ પડવાની શક્યતા તપાસો:
$(i)$ $f(x) = [x]$,$x \in [5, 9]$ માટે
$(ii)$ $f(x) = [x]$,$x \in [-2, 2]$ માટે
$(iii)$ $f(x) = x^{2} - 1$,$x \in [1, 2]$ માટે

જો $2a + 3b + 6c = 0$ હોય,તો સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ નું ઓછામાં ઓછું એક બીજ કયા અંતરાલમાં આવેલું છે?