int_{-pi}^pi frac{2 y(1+sin y)}{1+cos ^2 y} d | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2 y(1+\sin y)}{1+\cos ^2 y} d y$. समाकलन को दो भागों में विभाजित करें: $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2 y}{1+\cos ^2 y

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$\pi^2$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2 y(1+\sin y)}{1+\cos ^2 y} d y$. समाकलन को दो भागों में विभाजित करें: $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2 y}{1+\cos ^2 y} d y + \int_{-\pi}^\pi \frac{2 y \sin y}{1+\cos ^2 y} d y$. पहला भाग $\int_{-\pi}^\pi \frac{2 y}{1+\cos ^2 y} d y = 0$ है क्योंकि फलन विषम है। दूसरे भाग के लिए,चूंकि $y \sin y$ एक सम फलन है,इसलिए: $I = 2 \int_0^\pi \frac{2 y \sin y}{1+\cos ^2 y} d y = 4 \int_0^\pi \frac{y \sin y}{1+\cos ^2 y} d y$. गुणधर्म $\int_0^a f(y) dy = \int_0^a f(a-y) dy$ का उपयोग करते हुए: $I = 4 \int_0^\pi \frac{(\pi-y) \sin y}{1+\cos ^2 y} d y = 4\pi \int_0^\pi \frac{\sin y}{1+\cos ^2 y} d y - 4 \int_0^\pi \frac{y \sin y}{1+\cos ^2 y} d y$. $I = 4\pi \int_0^\pi \frac{\sin y}{1+\cos ^2 y} d y - I \implies 2I = 4\pi \int_0^\pi \frac{\sin y}{1+\cos ^2 y} d y \implies I = 2\pi \int_0^\pi \frac{\sin y}{1+\cos ^2 y} d y$. माना $t = \cos y$,तो $dt = -\sin y dy$. जब $y=0, t=1$; जब $y=\pi, t=-1$. $I = 2\pi \int_1^{-1} \frac{-dt}{1+t^2} = 2\pi \int_{-1}^1 \frac{dt}{1+t^2} = 2\pi [	an^{-1} t]_{-1}^1$. $I = 2\pi [	an^{-1}(1) - 	an^{-1}(-1)] = 2\pi [\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})] = 2\pi [\frac{\pi}{2}] = \pi^2$.

$\int_{-\pi}^\pi \frac{2 y(1+\sin y)}{1+\cos ^2 y} d y$ का मान ज्ञात कीजिए:

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यदि $f(a+b+1-x)=f(x)$ सभी $x$ के लिए है,जहाँ $a$ और $b$ निश्चित धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं,तो $\frac{1}{a+b} \int_{a}^{b} x(f(x)+f(x+1)) dx$ का मान क्या होगा?

यदि $\int_{0}^{\pi} \log (\sin x) dx = 8 k$ है,तो $\int_{0}^{\pi / 4} \log (1 + \tan x) dx =$

यदि $f(x) = \int_0^{\sin^2 x} \sin^{-1} \sqrt{t} \, dt$ और $g(x) = \int_0^{\cos^2 x} \cos^{-1} \sqrt{t} \, dt$ है, तो $f(x) + g(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-10}^{10} \frac{3^x}{3^{[x]}} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $[ \cdot ]$ महत्तम पूर्णांक फलन $(G.I.F.)$ को दर्शाता है।

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