${2^n} \{ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n - 3) \cdot (2n - 1) \}$ ની કિંમત શોધો.

$TABLE$ શબ્દના તમામ અક્ષરોને ક્રમચય કરવામાં આવે છે અને આ રીતે બનેલા અક્ષરોના શબ્દોને શબ્દકોશના ક્રમમાં ગોઠવવામાં આવે છે. તો $TABLE$ શબ્દનો ક્રમ $BLATE$ શબ્દના ક્રમથી ગણતા કેટલો થાય?

એક પ્રશ્નપત્રમાં $3$ વિભાગો છે અને દરેક વિભાગમાં $5$ પ્રશ્નો છે. ઉમેદવારે કુલ $5$ પ્રશ્નોના જવાબ આપવાના છે,જેમાં દરેક વિભાગમાંથી ઓછામાં ઓછો એક પ્રશ્ન પસંદ કરવાનો છે. તો ઉમેદવાર પ્રશ્નોને કેટલી રીતે પસંદ કરી શકે?

ધારો કે $S$ એ તમામ પાસવર્ડ્સનો સેટ છે જે $6$ થી $8$ અક્ષરો લાંબા છે,જ્યાં દરેક અક્ષર કાં તો $\{A, B, C, D, E\}$ માંથી મૂળાક્ષર છે અથવા $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ માંથી સંખ્યા છે,જેમાં અક્ષરોનું પુનરાવર્તન માન્ય છે. જો $S$ માં એવા પાસવર્ડ્સની સંખ્યા કે જેમાં ઓછામાં ઓછો એક અક્ષર $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ માંથી સંખ્યા હોય તે $\alpha \times 5^{6}$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત $.......$ છે.

ધારો કે $m$ અને $n$ $(m < n)$ બે $2$-અંકી સંખ્યાઓ છે. તો એવી જોડીઓ $(m, n)$ ની કુલ સંખ્યા શોધો કે જેથી $\operatorname{gcd}(m, n) = 6$ થાય.

$5$ છોકરાઓ અને $6$ છોકરીઓને તમામ શક્ય રીતે ગોઠવવામાં આવે છે. ધારો કે $X$ એ રેખીય ગોઠવણીઓની સંખ્યા દર્શાવે છે જેમાં કોઈ પણ બે છોકરાઓ સાથે બેસતા નથી અને $Y$ એ રેખીય ગોઠવણીઓની સંખ્યા દર્શાવે છે જેમાં કોઈ પણ બે છોકરીઓ સાથે બેસતી નથી. જો $Z$ એ ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ તે બધાને એવી રીતે ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા દર્શાવે છે કે જેથી કોઈ પણ બે છોકરાઓ સાથે ન બેસે,તો $X: Y: Z=$