frac{C_1}{2} + frac{C_3}{4} + frac{C_5}{6} + | vedclass

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Question

(A) हम जानते हैं कि द्विपद गुणांकों का विस्तार इस प्रकार है:$(1 + x)^n = C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + C_3 x^3 + C_4 x^4 + C_5 x^5 + \dots$$(1 - x)^n = C_0

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2^n - 1}{n + 1}$

Vedclass · Answer

(A) हम जानते हैं कि द्विपद गुणांकों का विस्तार इस प्रकार है:$(1 + x)^n = C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + C_3 x^3 + C_4 x^4 + C_5 x^5 + \dots$$(1 - x)^n = C_0 - C_1 x + C_2 x^2 - C_3 x^3 + C_4 x^4 - C_5 x^5 + \dots$दोनों समीकरणों को घटाने पर:$(1 + x)^n - (1 - x)^n = 2(C_1 x + C_3 x^3 + C_5 x^5 + \dots)$$2x$ से भाग देने पर:$\frac{(1 + x)^n - (1 - x)^n}{2x} = C_1 + C_3 x^2 + C_5 x^4 + \dots$दोनों पक्षों का $x = 0$ से $x = 1$ तक समाकलन करने पर:$\int_0^1 \frac{(1 + x)^n - (1 - x)^n}{2x} dx = \int_0^1 (C_1 + C_3 x^2 + C_5 x^4 + \dots) dx$वैकल्पिक रूप से,गुणधर्म $\frac{C_k}{k+1} = \frac{1}{n+1} \binom{n+1}{k+1}$ का उपयोग करने पर:$\sum_{k 	ext{ odd}} \frac{C_k}{k+1} = \frac{1}{n+1} \sum_{k 	ext{ odd}} \binom{n+1}{k+1} = \frac{2^n - 1}{n + 1}$

$\frac{C_1}{2} + \frac{C_3}{4} + \frac{C_5}{6} + \dots$ का मान किसके बराबर है?

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$(1+x)^n$ के विस्तार में,$\frac{C_1}{C_0} + 2 \frac{C_2}{C_1} + 3 \frac{C_3}{C_2} + \ldots + n \frac{C_n}{C_{n-1}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि ${}^n C_0, {}^n C_1, {}^n C_2, \ldots, {}^n C_n$ द्विपद गुणांक $(1+x)^n$ के विस्तार में हैं,तो $n=10$ के लिए,$\sum_{r=1}^{10} {}^n C_r \cdot r(r-4)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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