hat{i}+alpha hat{j}+hat{k},hat{j}+alpha hat{k | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) सदिशों $\vec{a} = \hat{i}+\alpha \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{j}+\alpha \hat{k}$,और $\vec{c} = \alpha \hat{i}+\hat{k}$ द्वारा निर्मित समांतर ष

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{\sqrt{3}}$

Vedclass · Answer

(C) सदिशों $\vec{a} = \hat{i}+\alpha \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{j}+\alpha \hat{k}$,और $\vec{c} = \alpha \hat{i}+\hat{k}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन $V$ अदिश त्रिक गुणनफल के मापांक के बराबर होता है: $V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} 	imes \vec{c})| = \left|\begin{array}{ccc} 1 & \alpha & 1 \ 0 & 1 & \alpha \ \alpha & 0 & 1 \end{array}ight|$ सारणिक का विस्तार करने पर: $V = 1(1 - 0) - \alpha(0 - \alpha^2) + 1(0 - \alpha) = 1 + \alpha^3 - \alpha$ न्यूनतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम $V$ का $\alpha$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{dV}{d\alpha} = 3\alpha^2 - 1 = 0$ $\alpha^2 = \frac{1}{3} \implies \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ अब,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं: $\frac{d^2V}{d\alpha^2} = 6\alpha$ $\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$\frac{d^2V}{d\alpha^2} = 6(\frac{1}{\sqrt{3}}) > 0$,जो स्थानीय न्यूनतम मान को दर्शाता है। अतः,$\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$ पर आयतन न्यूनतम है।

$\hat{i}+\alpha \hat{j}+\hat{k}$,$\hat{j}+\alpha \hat{k}$ और $\alpha \hat{i}+\hat{k}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन न्यूनतम होने के लिए $\alpha$ का मान है

Similar Questions

यदि $\hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$ और $\lambda \hat{i}+3 \hat{j}$ समतलीय हैं, तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $a, b, c$ अऋणात्मक भिन्न संख्याएँ हैं और $a \hat{\imath}+a \hat{\jmath}+c \hat{k}$,$\hat{\imath}+\hat{k}$ तथा $c \hat{\imath}+c \hat{\jmath}+b \hat{k}$ समतलीय सदिश हैं,तो

$a$ के किस मान के लिए $\hat{i} + a\hat{j} + \hat{k}$,$\hat{j} + a\hat{k}$ और $a\hat{i} + \hat{k}$ सदिशों द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन न्यूनतम होगा?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module