hat{i} + a hat{j} + hat{k},hat{j} + a hat{k} | vedclass

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Question

(A) सदिशों $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन $V = |\vec{u} \cdot (\vec{v} 	imes \vec{w})|$ द्वारा दिया जाता है।सदिश $\

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$\frac{1}{\sqrt{3}}$

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(A) सदिशों $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन $V = |\vec{u} \cdot (\vec{v} 	imes \vec{w})|$ द्वारा दिया जाता है।सदिश $\vec{u} = (1, a, 1)$,$\vec{v} = (0, 1, a)$ और $\vec{w} = (a, 0, 1)$ हैं।अदिश त्रिक गुणनफल सारणिक द्वारा प्राप्त होता है:$V(a) = \left|\begin{array}{ccc} 1 & a & 1 \ 0 & 1 & a \ a & 0 & 1 \end{array}ight|$प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:$V(a) = 1(1 - 0) - a(0 - a^2) + 1(0 - a) = 1 + a^3 - a = a^3 - a + 1$.न्यूनतम आयतन ज्ञात करने के लिए,अवकलज $V'(a)$ ज्ञात करें और इसे $0$ के बराबर रखें:$V'(a) = 3a^2 - 1 = 0$.$3a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करने पर: $V''(a) = 6a$.$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$V''(a) = 6(\frac{1}{\sqrt{3}}) > 0$,जो स्थानीय न्यूनतम मान को दर्शाता है।अतः,$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ पर आयतन न्यूनतम है।

$\hat{i} + a \hat{j} + \hat{k}$,$\hat{j} + a \hat{k}$ और $a \hat{i} + \hat{k}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन न्यूनतम होने के लिए $a$ का मान क्या होगा?

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यदि सदिश $(1 - x)\hat i + \hat j + \hat k$,$\hat i + (1 - y)\hat j + \hat k$ और $\hat i + \hat j + (1 - z)\hat k$ समतलीय हैं,तो $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$ का मान ज्ञात कीजिए $(x, y, z \neq 0)$।

तीन सदिशों $u, v, w$ के लिए,निम्नलिखित में से कौन सा व्यंजक शेष तीन में से किसी के भी बराबर नहीं है?

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