lim _{n rightarrow infty} n sin frac{2 pi}{3 | vedclass

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Question

(B) माना $L = \lim _{n ightarrow \infty} n \sin \frac{2 \pi}{3 n} \cos \frac{2 \pi}{3 n}$.हम जानते हैं कि $\sin(2	heta) = 2 \sin 	heta \cos 	heta

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$\frac{2 \pi}{3}$

Vedclass · Answer

(B) माना $L = \lim _{n ightarrow \infty} n \sin \frac{2 \pi}{3 n} \cos \frac{2 \pi}{3 n}$.हम जानते हैं कि $\sin(2	heta) = 2 \sin 	heta \cos 	heta$,इसलिए $\sin 	heta \cos 	heta = \frac{1}{2} \sin(2	heta)$.यहाँ,$	heta = \frac{2 \pi}{3 n}$.अतः,$L = \lim _{n ightarrow \infty} n \cdot \frac{1}{2} \sin \left( 2 \cdot \frac{2 \pi}{3 n} ight) = \lim _{n ightarrow \infty} \frac{n}{2} \sin \left( \frac{4 \pi}{3 n} ight)$.मानक सीमा $\lim _{x ightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ का उपयोग करते हुए,व्यंजक को पुन: लिखते हैं:$L = \lim _{n ightarrow \infty} \frac{n}{2} \cdot \left( \frac{4 \pi}{3 n} ight) \cdot \frac{\sin \left( \frac{4 \pi}{3 n} ight)}{\left( \frac{4 \pi}{3 n} ight)}$.जैसे $n ightarrow \infty$,$\frac{4 \pi}{3 n} ightarrow 0$,इसलिए $\frac{\sin \left( \frac{4 \pi}{3 n} ight)}{\left( \frac{4 \pi}{3 n} ight)} ightarrow 1$.इसलिए,$L = \lim _{n ightarrow \infty} \frac{n}{2} \cdot \frac{4 \pi}{3 n} \cdot 1 = \frac{4 \pi}{6} = \frac{2 \pi}{3}$.

$\lim _{n \rightarrow \infty} n \sin \frac{2 \pi}{3 n} \cos \frac{2 \pi}{3 n}$ का मान है

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