lim _{x rightarrow 0} frac{int_{0}^{x^{2}} co | vedclass

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Question

(A) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}} \cos \left(t^{2}\right) d t}{x \sin x}$.चूंकि यह सीमा $\frac{0}{0}$ रूप में है, हम $L$' H

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$1$

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(A) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}} \cos \left(t^{2}\right) d t}{x \sin x}$.चूंकि यह सीमा $\frac{0}{0}$ रूप में है, हम $L$' Hospital नियम का उपयोग करते हैं।लेबनिज नियम का उपयोग करते हुए, अंश का अवकलन $\cos(x^4) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \cos(x^4)$ है।हर $x \sin x$ का अवकलन $\sin x + x \cos x$ है।अतः, $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2x \cos(x^4)}{\sin x + x \cos x}$.अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर:$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \cos(x^4)}{\frac{\sin x}{x} + \cos x}$.जैसे ही $x \rightarrow 0$, $\frac{\sin x}{x} \rightarrow 1$, $\cos(x^4) \rightarrow 1$, और $\cos x \rightarrow 1$ होता है।इसलिए, $L = \frac{2(1)}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1$.

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}} \cos \left(t^{2}\right) d t}{x \sin x}$ का मान है

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वह $x$ का मान जो समाकल $\int\limits_x^{x + 3} {t(5 - t)\,dt}$ के मान को अधिकतम करता है,है

$\int_{-3\pi}^{3\pi} \sin^2 \theta \sin^2 2\theta \, d\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \int_{9x^2}^{x^4} 5^{\sqrt{t}} dt$ है,तो $\lim_{h \to 0} \frac{f(3 + h) - f(3 - h)}{h}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \int_{x}^{x^2} (t - 1) dt$,$1 \le x \le 2$ है,तो $f(x)$ का वैश्विक अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-3\pi}^{3\pi} \sin^2 \theta \sin^2 2\theta \, d\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

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