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Question

(A) दिया गया सीमा: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{3/2}} \sum_{r=1}^{n-1} \sqrt{n+r}$ अंश और हर को $n$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता

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$\frac{2}{3}(2\sqrt{2}-1)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया सीमा: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{3/2}} \sum_{r=1}^{n-1} \sqrt{n+r}$ अंश और हर को $n$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: $= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n-1} \sqrt{\frac{n+r}{n}} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n-1} \sqrt{1+\frac{r}{n}}$ यह $\int_{0}^{1} f(x) dx$ के रूप का एक रीमान योग है जहाँ $f(x) = \sqrt{1+x}$ $= \int_{0}^{1} (1+x)^{1/2} dx = \left[ \frac{(1+x)^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} \left[ (1+x)^{3/2} \right]_{0}^{1}$ $= \frac{2}{3} (2^{3/2} - 1^{3/2}) = \frac{2}{3} (2\sqrt{2} - 1)$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \left\{ \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}+\ldots+\sqrt{2n-1}}{n^{3/2}} \right\}$ का मान है

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$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{77}+2^{77}+\ldots+n^{77}}{n^{78}} = $

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{n}{(n+1) \sqrt{2n+1}}+\frac{n}{(n+2) \sqrt{2(2n+2)}}+\frac{n}{(n+3) \sqrt{3(2n+3)}}+\ldots n \text{ पद}\right]=\int_0^1 f(x) d x$,तो $f(x)=$

योगफल की सीमा के रूप में $\int_{0}^{1} e^{2-3 x} d x$ का मूल्यांकन कीजिए।

निम्नलिखित निश्चित समाकल का योगफल की सीमा के रूप में मान ज्ञात कीजिए: $\int_{-1}^{1} e^{x} dx$

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\left( {\frac{n}{{{n^2} + {1^2}}} + \frac{n}{{{n^2} + {2^2}}} + \frac{n}{{{n^2} + {3^2}}} + ... + \frac{n}{{{n^2} + {{(2n)}^2}}}} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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