lim _{n rightarrow infty}left[frac{n}{(n+1) s | vedclass

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Question

(A) दी गई सीमा $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{n}{(n+k) \sqrt{k(2n+k)}}$ है।हम सामान्य पद को इस प्रकार लिख सकते हैं:$S = \lim _{n

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$\frac{1}{(1+x) \sqrt{2x+x^2}}$

Vedclass · Answer

(A) दी गई सीमा $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{n}{(n+k) \sqrt{k(2n+k)}}$ है।हम सामान्य पद को इस प्रकार लिख सकते हैं:$S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{n}{(n+k) \sqrt{k \cdot n \left(2+\frac{k}{n}\right)}}$$S = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{n^2}{(n+k) \sqrt{\frac{k}{n} \cdot n \left(2+\frac{k}{n}\right)}}$$S = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\left(1+\frac{k}{n}\right) \sqrt{\frac{k}{n} \left(2+\frac{k}{n}\right)}}$निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n g\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 g(x) dx$,जहाँ $x = \frac{k}{n}$ है।अतः,$S = \int_0^1 \frac{1}{(1+x) \sqrt{x(2+x)}} dx = \int_0^1 \frac{1}{(1+x) \sqrt{2x+x^2}} dx$.इसकी तुलना $\int_0^1 f(x) dx$ से करने पर,हमें $f(x) = \frac{1}{(1+x) \sqrt{2x+x^2}}$ प्राप्त होता है।

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{n}{(n+1) \sqrt{2n+1}}+\frac{n}{(n+2) \sqrt{2(2n+2)}}+\frac{n}{(n+3) \sqrt{3(2n+3)}}+\ldots n \text{ पद}\right]=\int_0^1 f(x) d x$,तो $f(x)=$

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योगफल की सीमा के रूप में निम्नलिखित निश्चित समाकल का मान ज्ञात कीजिए: $\int_{a}^{b} x \, dx$

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n^2} \sec ^2 \frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2} \sec ^2 \frac{4}{n^2}+\ldots+\frac{1}{n} \sec ^2 1\right]=$

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{2^2}{n^2}\right) \ldots \left(1+\frac{n^2}{n^2}\right)\right]^{1 / n}=$

यदि $U_{n}=\left(1+\frac{1^{2}}{n^{2}}\right)^{1}\left(1+\frac{2^{2}}{n^{2}}\right)^{2} \ldots\left(1+\frac{n^{2}}{n^{2}}\right)^{n}$ है,तो $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(U_{n}\right)^{\frac{-4}{n^{2}}}$ का मान ज्ञात कीजिए:

योगफल की सीमा के रूप में $\int_{0}^{2} e^{x} d x$ का मूल्यांकन कीजिए।

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