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Question

(D) माना $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \left[ \prod_{r=1}^n \left(1 + \frac{r^2}{n^2}\right) \right]^{\frac{1}{n}}$.दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुग

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$2 e^{\frac{\pi-4}{2}}$

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(D) माना $L = \lim _{n ightarrow \infty} \left[ \prod_{r=1}^n \left(1 + \frac{r^2}{n^2}ight) ight]^{\frac{1}{n}}$.दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:$\log L = \lim _{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \log \left(1 + \left(\frac{r}{n}ight)^2ight)$.योगफल की सीमा के रूप में निश्चित समाकलन की परिभाषा का उपयोग करने पर:$\log L = \int_0^1 \log(1 + x^2) dx$.खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \log(1 + x^2)$ और $dv = dx$ लेने पर:$\log L = [x \log(1 + x^2)]_0^1 - \int_0^1 x \cdot \frac{2x}{1 + x^2} dx$.$\log L = \log 2 - 2 \int_0^1 \frac{x^2}{1 + x^2} dx = \log 2 - 2 \int_0^1 \left(1 - \frac{1}{1 + x^2}ight) dx$.$\log L = \log 2 - 2 [x - 	an^{-1} x]_0^1 = \log 2 - 2(1 - \frac{\pi}{4}) = \log 2 - 2 + \frac{\pi}{2}$.अतः,$L = e^{\log 2 - 2 + \frac{\pi}{2}} = 2 e^{\frac{\pi-4}{2}}$.

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{2^2}{n^2}\right) \ldots \left(1+\frac{n^2}{n^2}\right)\right]^{1 / n}=$

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$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{77}+2^{77}+\ldots+n^{77}}{n^{78}} = $

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left[ \frac{1}{n} \sin ^{-1} \frac{1}{n} + \frac{2}{n} \sin ^{-1} \frac{2}{n} + \dots + \frac{n}{n} \sin ^{-1} \frac{n}{n} \right] =$

$\mathop {\text{Lim}}\limits_{n \to \infty } \,\,\sum\limits_{r = 1}^{4n} {\frac{{\sqrt n }}{{\sqrt r {{\left( {\,3\sqrt r + 4\sqrt n \,} \right)}^2}}}} $ का मान ज्ञात कीजिए।

$\operatorname{Lim}_{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{2 n}\left[\sin \frac{\pi}{2 n}+\sin \frac{2 \pi}{2 n}+\ldots+\sin \frac{\pi}{2}\right]=$

$\int_0^3 (2+x^2) dx = $

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