int_{0}^{pi /2} frac{2^{sin x}}{2^{sin x} + 2 | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{0}^{\pi /2} \frac{2^{\sin x}}{2^{\sin x} + 2^{\cos x}} dx$ ....$(i)$गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपय

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$\frac{\pi}{4}$

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(A) माना $I = \int_{0}^{\pi /2} \frac{2^{\sin x}}{2^{\sin x} + 2^{\cos x}} dx$ ....$(i)$गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_{0}^{\pi /2} \frac{2^{\sin(\pi/2 - x)}}{2^{\sin(\pi/2 - x)} + 2^{\cos(\pi/2 - x)}} dx$चूंकि $\sin(\pi/2 - x) = \cos x$ और $\cos(\pi/2 - x) = \sin x$,इसलिए:$I = \int_{0}^{\pi /2} \frac{2^{\cos x}}{2^{\cos x} + 2^{\sin x}} dx$ ....$(ii)$समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:$2I = \int_{0}^{\pi /2} \left( \frac{2^{\sin x} + 2^{\cos x}}{2^{\sin x} + 2^{\cos x}} \right) dx$$2I = \int_{0}^{\pi /2} 1 dx$$2I = [x]_{0}^{\pi /2} = \frac{\pi}{2}$$I = \frac{\pi}{4}$.

$\int_{0}^{\pi /2} \frac{2^{\sin x}}{2^{\sin x} + 2^{\cos x}} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\int_0^\pi \frac{d x}{1+2 \sin ^2 x}=k$ है,तो $k$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $J = \int_0^1 \frac{x}{1+x^8} dx$. निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$I$. $J > \frac{1}{4}$
$II$. $J < \frac{\pi}{8}$
तो,

$\int_0^{\pi / 2} \frac{d x}{1+\tan ^3 x}$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\int_{0}^{1} \tan^{-1} \left( \frac{1}{x^2 - x + 1} \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकलन $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\left(1+e^{x \cos x}\right)\left(\sin ^{4} x+\cos ^{4} x\right)}$ का मान किसके बराबर है?

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