समाकलन int_{frac{1}{3}}^{1} frac{left(x-x^{3} | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{\frac{1}{3}}^{1} \frac{(x-x^3)^{\frac{1}{3}}}{x^4} dx$.हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:$I = \int_{\frac{1}{3}}^{1} \frac{x(1-

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$6$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_{\frac{1}{3}}^{1} \frac{(x-x^3)^{\frac{1}{3}}}{x^4} dx$.हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:$I = \int_{\frac{1}{3}}^{1} \frac{x(1-x^2)^{\frac{1}{3}}}{x^4 \cdot x^{\frac{1}{3}}} dx = \int_{\frac{1}{3}}^{1} \frac{(1-x^2)^{\frac{1}{3}}}{x^3 \cdot x^{\frac{1}{3}}} dx = \int_{\frac{1}{3}}^{1} \frac{(1-x^2)^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{10}{3}}} dx$.माना $x = \frac{1}{u}$,तो $dx = -\frac{1}{u^2} du$.जब $x = \frac{1}{3}$,तो $u = 3$ और जब $x = 1$,तो $u = 1$.$I = \int_{3}^{1} \frac{(\frac{1}{u} - \frac{1}{u^3})^{\frac{1}{3}}}{1/u^4} (-\frac{1}{u^2}) du = \int_{1}^{3} u^4 \frac{(\frac{u^2-1}{u^3})^{\frac{1}{3}}}{u^2} du = \int_{1}^{3} u^2 \frac{(u^2-1)^{\frac{1}{3}}}{u} du = \int_{1}^{3} u (u^2-1)^{\frac{1}{3}} du$.माना $u^2-1 = v$,तो $2u du = dv$.$I = \frac{1}{2} \int_{0}^{8} v^{\frac{1}{3}} dv = \frac{1}{2} [\frac{3}{4} v^{\frac{4}{3}}]_{0}^{8} = \frac{3}{8} (8^{\frac{4}{3}}) = \frac{3}{8} (16) = 6$.अतः,सही विकल्प $A$ है।

$t \ (\text{सेकंड में})$	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$	$10$
$v \ (\text{m/s में})$	$0$	$12$	$16$	$20$	$35$	$60$

समाकलन $\int_{\frac{1}{3}}^{1} \frac{\left(x-x^{3}\right)^{\frac{1}{3}}}{x^{4}} d x$ का मान है

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$ \int_{0}^{1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \, dx = $

यदि $\int_0^{\pi / 2} \frac{d x}{5+4 \sin x}=A \tan ^{-1} B$ है,तो $A+B=$

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समाकलन $\int_{0}^{2} ||x-1|-x| dx$ का मान ज्ञात कीजिए। ($.5$ में)

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