श्रेणी 1 times 2 times 3 + 2 times 3 times 4 | vedclass

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Question

(D) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = n(n+1)(n+2)$ है।इसका विस्तार करने पर,$T_n = n(n^2 + 3n + 2) = n^3 + 3n^2 + 2n$ प्राप्त होता है।$n$ पदों का योग $S_n =

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$\frac{1}{4} n(n+1)(n+2)(n+3)$

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(D) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = n(n+1)(n+2)$ है।इसका विस्तार करने पर,$T_n = n(n^2 + 3n + 2) = n^3 + 3n^2 + 2n$ प्राप्त होता है।$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n (k^3 + 3k^2 + 2k)$ है।मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:$\sum_{k=1}^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$,$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,और $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$।इन मानों को रखने पर:$S_n = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$$S_n = \frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{n(n+1)}{2} + (2n+1) + 2 \right]$$S_n = \frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{n^2+n+4n+2+4}{2} \right] = \frac{n(n+1)(n^2+5n+6)}{4}$चूंकि $n^2+5n+6 = (n+2)(n+3)$,इसलिए $S_n = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$।

श्रेणी $1 \times 2 \times 3 + 2 \times 3 \times 4 + 3 \times 4 \times 5 + \ldots$ के $n$ पदों तक का योगफल क्या है?

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