a और b के किन मानों के लिए समीकरण x^4 - 4x^3 | vedclass

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Question

(D) माना चार वास्तविक मूल $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ हैं। समीकरण $(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)(x - \delta) = 0$ है।$x^4 - 4x^3 + ax^2 + bx

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$a = 6, b = -4$

Vedclass · Answer

(D) माना चार वास्तविक मूल $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ हैं। समीकरण $(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)(x - \delta) = 0$ है।$x^4 - 4x^3 + ax^2 + bx + 1 = 0$ के साथ तुलना करने पर:$\sum \alpha = 4, \sum \alpha\beta = a, \sum \alpha\beta\gamma = -b, \alpha\beta\gamma\delta = 1$.वास्तविक धनात्मक मूलों के लिए,$AM-GM$ असमिका के अनुसार:$\frac{\alpha + \beta + \gamma + \delta}{4} \ge (\alpha\beta\gamma\delta)^{1/4}$.मान रखने पर: $\frac{4}{4} \ge (1)^{1/4} \implies 1 \ge 1$.चूंकि $AM = GM$ है,इसलिए सभी मूल समान होने चाहिए: $\alpha = \beta = \gamma = \delta = 1$.अब,$a$ और $b$ की गणना करने पर:$a = \sum \alpha\beta = \binom{4}{2} 	imes (1 	imes 1) = 6$.$-b = \sum \alpha\beta\gamma = \binom{4}{3} 	imes (1 	imes 1 	imes 1) = 4 \implies b = -4$.अतः,$a = 6$ और $b = -4$.

List-$I$	List-$II$
$(i) \alpha = \beta$	$(A) (ac^2)^{1/3} + (a^2c)^{1/3} + b = 0$
$(ii) \alpha = 2\beta$	$(B) 2b^2 = 9ac$
$(iii) \alpha = 3\beta$	$(C) b^2 = 6ac$
$(iv) \alpha = \beta^2$	$(D) 3b^2 = 16ac$
	$(E) b^2 = 4ac$
	$(F) (ac^2)^{1/3} + (a^2c)^{1/3} = b$

$a$ और $b$ के किन मानों के लिए समीकरण $x^4 - 4x^3 + ax^2 + bx + 1 = 0$ के चार वास्तविक मूल हैं?

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