$p$ और $q$ के वे मान जिनके लिए समीकरण निकाय $2x + py + 6z = 8$,$x + 2y + qz = 5$ और $x + y + 3z = 4$ का कोई हल न हो,हैं

यदि $x=\alpha, y=\beta, z=\gamma$ रैखिक समीकरण निकाय $2x-3y+5z=12$, $5x+2y+3z=11$ और $x+2y-3z=-3$ का अद्वितीय हल है, तो $2\alpha+5\beta+3\gamma=$

मान लीजिए $A=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]$,$B=\left[B_1, B_2, B_3\right]$,जहाँ $B_1, B_2, B_3$ स्तंभ आव्यूह हैं,और $AB_1=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]$,$AB_2=\left[\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 0\end{array}\right]$,$AB_3=\left[\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right]$. यदि $\alpha=|B|$ और $\beta$,$B$ के सभी विकर्ण तत्वों का योग है,तो $\alpha^3+\beta^3$ का मान ज्ञात कीजिए।

समीकरणों की प्रणाली $x + ky - z = 0$,$3x - ky - z = 0$,और $x - 3y + z = 0$ का $k =$ के लिए एक गैर-शून्य समाधान है।

$A, C$ $3 \times 3$ आव्यूह हैं। $B, D$ $3 \times 1$ आव्यूह हैं। यदि $AX=B$ का अद्वितीय हल है और $CX=D$ के अनंत हल हैं, तो:

एक ट्रस्ट फंड के पास Rs. $30,000$ हैं जिन्हें दो अलग-अलग प्रकार के बॉन्ड में निवेश किया जाना है। पहला बॉन्ड प्रति वर्ष $5 \%$ ब्याज देता है,और दूसरा बॉन्ड प्रति वर्ष $7 \%$ ब्याज देता है। आव्यूह गुणन का उपयोग करके,निर्धारित करें कि यदि ट्रस्ट फंड को कुल वार्षिक ब्याज Rs. $2000$ प्राप्त करना है,तो Rs. $30,000$ को दो प्रकार के बॉन्ड के बीच कैसे विभाजित किया जाए।