$x$ ની કઈ કિંમતો માટે સદિશો $x^2 \hat{i} + 2 x \hat{j} + \hat{k}$ અને $\hat{i} - 2 \hat{j} + x \hat{k}$ વચ્ચેનો ખૂણો ગુરુકોણ હોય,તે અંતરાલ શોધો.

ધારો કે બિંદુઓ $P, Q, R$ અને $S$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}-5 \hat{k}$,$\vec{b}=3 \hat{i}+6 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{c}=\frac{17}{5} \hat{i}+\frac{16}{5} \hat{j}+7 \hat{k}$ અને $\vec{d}=2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ છે. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

$\lambda$ ની વાસ્તવિક કિંમતોનો ગણ શોધો જેના માટે સદિશો $\lambda \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k}$ અને $2 \lambda \hat{i}-\lambda \hat{j}+\hat{k}$ એકબીજાને લંબ હોય.

જો બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એવા હોય કે જેથી $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 3$ અને $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$, તો $|\vec{a} - \vec{b}| = . . . . . . $.

$ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને $P$ એ રેખાખંડ $AD$ પરનું એક બિંદુ છે જે તેને $3:1$ ના ગુણોત્તરમાં આંતરિક રીતે વિભાજિત કરે છે. જો રેખા $BP$ વિકર્ણ $AC$ ને $Q$ માં મળે, તો $AQ:QC$ બરાબર શું થાય?

જો $3$ સદિશો $a, b, c$ એવા હોય કે $a \neq 0$ અને $a \times b = 2(a \times c)$,$|a| = 1$,$|c| = 1$,$|b| = 4$ અને $b$ તથા $c$ વચ્ચેનો ખૂણો $\cos^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)$ હોય અને $b - 2c = \lambda a$ હોય,તો $\lambda = $