फलन f(x) = begin{cases} frac{sin(a+1)x + sin | vedclass

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Question

(D) फलन के $x = 0$ पर संतत होने के लिए, $\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \lim_{x 	o 0^+} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।सबसे पहले, बायां सीमा $(LHL)$ की गणना करें:$

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$a = -2, b \in \mathbb{R} - \{0\}, c = 0$

Vedclass · Answer

(D) फलन के $x = 0$ पर संतत होने के लिए, $\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \lim_{x 	o 0^+} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।सबसे पहले, बायां सीमा $(LHL)$ की गणना करें:$\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \lim_{x 	o 0^-} \frac{\sin(a+1)x + \sin x}{x} = \lim_{x 	o 0^-} \left( \frac{\sin(a+1)x}{x} + \frac{\sin x}{x} ight) = (a+1) + 1 = a+2$.अब, दायां सीमा $(RHL)$ की गणना करें:$\lim_{x 	o 0^+} f(x) = \lim_{x 	o 0^+} \frac{\sqrt{x+bx^2} - \sqrt{x}}{bx^{1/2}} = \lim_{x 	o 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{1+bx} - 1)}{bx^{1/2}} = \lim_{x 	o 0^+} \frac{\sqrt{1+bx} - 1}{b}$.द्विपद प्रसार $(1+bx)^{1/2} \approx 1 + \frac{1}{2}bx$ का उपयोग करने पर:$\lim_{x 	o 0^+} \frac{1 + \frac{1}{2}bx - 1}{b} = \lim_{x 	o 0^+} \frac{\frac{1}{2}bx}{b} = \lim_{x 	o 0^+} \frac{x}{2} = 0$.चूंकि $f(0) = c$, निरंतरता के लिए $a+2 = 0$ और $c = 0$ आवश्यक है।अतः, $a = -2$ और $c = 0$। $RHL$ में हर में $b$ होने के कारण, $x > 0$ के लिए फलन को परिभाषित होने के लिए $b 
eq 0$ होना चाहिए।इसलिए, $a = -2, b \in \mathbb{R} - \{0\}, c = 0$।

फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(a+1)x + \sin x}{x}, & x < 0 \\ c, & x = 0 \\ \frac{(x+bx^2)^{1/2} - \sqrt{x}}{bx^{1/2}}, & x > 0 \end{cases}$ के $x = 0$ पर संतत होने के लिए $a, b, c$ के मान ज्ञात कीजिए।

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