सदिश $2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}, \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$ और $3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$

यदि $\bar{a}=\hat{i}+5 \hat{k}, \bar{b}=2 \hat{i}+3 \hat{k}, \bar{c}=4 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ और $\bar{d}=\hat{i}-\hat{j}$ है,तो $(\bar{c}-\bar{a}) \cdot(\bar{b} \times \bar{d})=$

$(\hat{i} \times \hat{j}) \cdot [(\hat{j} \times \hat{k}) \times (\hat{k} \times \hat{i})]$

मान लीजिए $a = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $b = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है। यदि $c$ एक ऐसा इकाई सदिश है कि $[a \ b \ c]$ अधिकतम है, तो $c =$

कथन $1$: सदिश $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ एक ही समतल में स्थित हैं यदि और केवल यदि $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$ है।
कथन $2$: सदिश $\vec{u}$ और $\vec{v}$ लंबवत हैं यदि और केवल यदि $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ है,जहाँ $\vec{u} \times \vec{v}$ एक सदिश है जो $\vec{u}$ और $\vec{v}$ के समतल के लंबवत है।

चतुष्फलक का आयतन जिसकी सह-अंतिम भुजाएँ $\bar{a}=-12 \hat{i}+p \hat{k}$,$\bar{b}=3 \hat{j}-\hat{k}$,और $\bar{c}=2 \hat{i}+\hat{j}-15 \hat{k}$ द्वारा निरूपित हैं,$570$ घन इकाई है। तो $p=$