સમાંતરબાજુ ફલક (parallelepiped) નું ઘનફળ શોધો જેની પાસપાસેની ધાર સદિશો $\overrightarrow{OA} = (2, 1, 1)$,$\overrightarrow{OB} = (3, -1, 1)$ અને $\overrightarrow{OC} = (-1, 1, -1)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. તે . . . . . . ઘન એકમ છે.

ત્રણ સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$,$\vec{b} = \hat{j} + \hat{k}$,અને $\vec{c} = \hat{k} + \hat{i}$ આપેલા છે. જો આ સદિશો દ્વારા બનતા ત્રણ સમતલોને લંબ ત્રણ એકમ સદિશો દોરવામાં આવે,તો તે એકમ સદિશો દ્વારા બનતા સમાંતર બાજુ ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ કેટલું થાય?

ધારો કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એકમ સદિશો છે જેથી $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = \cos \theta$ થાય. તો $\theta$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો,જ્યાં $\theta \in [0, \pi]$.

ધારો કે સદિશો $\vec{u} = (2+a+b) \hat{i}+(a+2 b+c) \hat{j}-(b+c) \hat{k}$,$\vec{v} = (1+b) \hat{i}+2 b \hat{j}-b \hat{k}$,અને $\vec{w} = (2+b) \hat{i}+2 b \hat{j}+(1-b) \hat{k}$ જ્યાં $a, b, c \in \mathbb{R}$ સમતલીય છે. તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

જો $\overrightarrow{a} = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + 3 \hat{k}$,$\overrightarrow{b} = -\beta \hat{i} - \alpha \hat{j} - \hat{k}$ અને $\overrightarrow{c} = \hat{i} - 2 \hat{j} - \hat{k}$ હોય,જેથી $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1$ અને $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = -3$ થાય,તો $\frac{1}{3}((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c})$ ની કિંમત ............ છે.

જો $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ ત્રણ અસમતલીય સદિશો હોય અને $\overrightarrow{p}, \overrightarrow{q}, \overrightarrow{r}$ ને $\overrightarrow{p}=\frac{\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}}{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]}, \quad \overrightarrow{q}=\frac{\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}}{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]}$ અને $\overrightarrow{r}=\frac{\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}}{[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]}$ સંબંધો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે,તો $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{p}+\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{q}+\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{r}$ ની કિંમત શોધો.