એક ચતુષ્ફલક (tetrahedron) જેના શિરોબિંદુઓ $A(-1, 2, 3)$, $B(3, -2, 1)$, $C(p, 1, 3)$, અને $D(-1, -2, 4)$ છે, તેનું ઘનફળ $\frac{16}{3}$ ઘન એકમ છે. $p$ ની કિંમત શોધો.

સદિશો $i + aj + k$,$j + ak$ અને $ai + k$ દ્વારા બનતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ ન્યૂનતમ થાય તે માટે $a$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે સદિશ $\vec{a}$ એ સદિશો $\vec{b}=2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{c}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ સાથે સમતલીય છે. જો $\vec{a}$ એ $\vec{d}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}$ ને લંબ હોય,અને $|\vec{a}|=\sqrt{10}$ હોય,તો $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]+[\vec{a} \vec{b} \vec{d}]+[\vec{a} \vec{c} \vec{d}]$ ની શક્ય કિંમત કેટલી થાય?

ધારો કે $OA, OB, OC$ એ $V$ ઘનફળ ધરાવતા લંબઘન સમાંતરફલક (rectangular parallelopiped) ની સહ-અંતિમ ધાર છે અને $P$ એ $O$ ની સામેનો શિરોબિંદુ છે. તો, $[\overrightarrow{AP} \overrightarrow{BP} \overrightarrow{CP}]$ ની કિંમત શોધો.

$a$ ના કયા મૂલ્ય માટે $\hat{i} + a\hat{j} + \hat{k}$,$\hat{j} + a\hat{k}$ અને $a\hat{i} + \hat{k}$ સદિશો દ્વારા બનતા સમાંતર ષટ્ફલકનું ઘનફળ ન્યૂનતમ થાય?

જો સદિશો $a\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\hat{i}+b\hat{j}+\hat{k}$ અને $\hat{i}+\hat{j}+c\hat{k}$ સમતલીય હોય $(a \neq 1, b \neq 1, c \neq 1)$,તો $abc-(a+b+c)$ ની કિંમત શોધો.