$O$ અને $O'$ કેન્દ્ર ધરાવતા બે વર્તુળો બે બિંદુઓ $A$ અને $B$ માં છેદે છે. $A$ (અથવા $B$) માંથી પસાર થતી અને $OO'$ ને સમાંતર એક રેખા $PQ$ દોરવામાં આવે છે જે વર્તુળોને $P$ અને $Q$ માં છેદે છે. સાબિત કરો કે $PQ = 2 OO'$.

(N/A) આપેલ છે: $O$ અને $O'$ કેન્દ્ર ધરાવતા બે વર્તુળો $A$ અને $B$ માં છેદે છે. $A$ માંથી પસાર થતી અને $OO'$ ને સમાંતર રેખા $PQ$ દોરવામાં આવી છે,જે વર્તુળોને $P$ અને $Q$ માં છેદે છે.
સાબિત કરવાનું છે: $PQ = 2 OO'$.
રચના: $OC \perp PA$ અને $O'D \perp AQ$ દોરો.
સાબિતી:
$1$. વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી:
$PA = 2 CA$ (કારણ કે $OC \perp PA$) $...(1)$
$AQ = 2 AD$ (કારણ કે $O'D \perp AQ$) $...(2)$
$2$. સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$PA + AQ = 2 CA + 2 AD$
$PQ = 2(CA + AD)$
$3$. $PQ \parallel OO'$,$OC \perp PQ$,અને $O'D \perp PQ$ હોવાથી,ચતુષ્કોણ $CDO'O$ એક લંબચોરસ છે.
તેથી,$CD = OO'$.
$4$. સમીકરણ $PQ = 2(CA + AD)$ માં $CD = OO'$ મૂકતા:
$PQ = 2 CD = 2 OO'$.
આમ,$PQ = 2 OO'$ સાબિત થાય છે.