Class 11PhysicsSystem of Particles and Rotational MotionMix Example - System of Particles and Rotational Motion
Difficultदो डिस्क जिनके जड़त्व आघूर्ण (moment of inertia) उनके संबंधित अक्षों (डिस्क के लंबवत और केंद्र से गुजरने वाले) के परितः $I_{1}$ और $I_{2}$ हैं,और जो $\omega_{1}$ और $\omega_{2}$ कोणीय गति से घूम रही हैं,उन्हें एक-दूसरे के संपर्क में लाया जाता है ताकि उनके घूर्णन अक्ष संपाती हो जाएं। $(a)$ दो-डिस्क प्रणाली की कोणीय गति क्या है? $(b)$ दर्शाइए कि संयुक्त प्रणाली की गतिज ऊर्जा दोनों डिस्क की प्रारंभिक गतिज ऊर्जाओं के योग से कम है। आप ऊर्जा में इस हानि को कैसे समझाएंगे? $\omega_{1} \neq \omega_{2}$ लें।
(N/A) भाग $(a)$: कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रणाली पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है,इसलिए प्रणाली का कुल कोणीय संवेग स्थिर रहता है।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_{i} = I_{1}\omega_{1} + I_{2}\omega_{2}$ है।
जब डिस्क को जोड़ा जाता है,तो वे एक सामान्य कोणीय गति $\omega$ के साथ घूमती हैं। प्रणाली का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_{1} + I_{2}$ हो जाता है।
अंतिम कोणीय संवेग $L_{f} = (I_{1} + I_{2})\omega$ है।
$L_{i} = L_{f}$ को बराबर करने पर,हमें मिलता है: $I_{1}\omega_{1} + I_{2}\omega_{2} = (I_{1} + I_{2})\omega$।
अतः,प्रणाली की कोणीय गति $\omega = \frac{I_{1}\omega_{1} + I_{2}\omega_{2}}{I_{1} + I_{2}}$ है।
भाग $(b)$: प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E_{i} = \frac{1}{2}I_{1}\omega_{1}^{2} + \frac{1}{2}I_{2}\omega_{2}^{2}$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $E_{f} = \frac{1}{2}(I_{1} + I_{2})\omega^{2} = \frac{1}{2}(I_{1} + I_{2})\left(\frac{I_{1}\omega_{1} + I_{2}\omega_{2}}{I_{1} + I_{2}}\right)^{2} = \frac{(I_{1}\omega_{1} + I_{2}\omega_{2})^{2}}{2(I_{1} + I_{2})}$ है।
गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta E = E_{i} - E_{f} = \frac{1}{2}I_{1}\omega_{1}^{2} + \frac{1}{2}I_{2}\omega_{2}^{2} - \frac{(I_{1}\omega_{1} + I_{2}\omega_{2})^{2}}{2(I_{1} + I_{2})}$ है।
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें $\Delta E = \frac{I_{1}I_{2}(\omega_{1} - \omega_{2})^{2}}{2(I_{1} + I_{2})}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $I_{1}, I_{2} > 0$ और $(\omega_{1} - \omega_{2})^{2} > 0$ (क्योंकि $\omega_{1} \neq \omega_{2}$),इसलिए $\Delta E > 0$,जिसका अर्थ है $E_{i} > E_{f}$।
गतिज ऊर्जा में यह हानि डिस्क की सतहों के बीच कार्य करने वाले घर्षण बल के विरुद्ध किए गए कार्य के कारण होती है,जब तक कि वे एक सामान्य कोणीय वेग प्राप्त नहीं कर लेतीं।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_{i} = I_{1}\omega_{1} + I_{2}\omega_{2}$ है।
जब डिस्क को जोड़ा जाता है,तो वे एक सामान्य कोणीय गति $\omega$ के साथ घूमती हैं। प्रणाली का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_{1} + I_{2}$ हो जाता है।
अंतिम कोणीय संवेग $L_{f} = (I_{1} + I_{2})\omega$ है।
$L_{i} = L_{f}$ को बराबर करने पर,हमें मिलता है: $I_{1}\omega_{1} + I_{2}\omega_{2} = (I_{1} + I_{2})\omega$।
अतः,प्रणाली की कोणीय गति $\omega = \frac{I_{1}\omega_{1} + I_{2}\omega_{2}}{I_{1} + I_{2}}$ है।
भाग $(b)$: प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E_{i} = \frac{1}{2}I_{1}\omega_{1}^{2} + \frac{1}{2}I_{2}\omega_{2}^{2}$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $E_{f} = \frac{1}{2}(I_{1} + I_{2})\omega^{2} = \frac{1}{2}(I_{1} + I_{2})\left(\frac{I_{1}\omega_{1} + I_{2}\omega_{2}}{I_{1} + I_{2}}\right)^{2} = \frac{(I_{1}\omega_{1} + I_{2}\omega_{2})^{2}}{2(I_{1} + I_{2})}$ है।
गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta E = E_{i} - E_{f} = \frac{1}{2}I_{1}\omega_{1}^{2} + \frac{1}{2}I_{2}\omega_{2}^{2} - \frac{(I_{1}\omega_{1} + I_{2}\omega_{2})^{2}}{2(I_{1} + I_{2})}$ है।
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें $\Delta E = \frac{I_{1}I_{2}(\omega_{1} - \omega_{2})^{2}}{2(I_{1} + I_{2})}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $I_{1}, I_{2} > 0$ और $(\omega_{1} - \omega_{2})^{2} > 0$ (क्योंकि $\omega_{1} \neq \omega_{2}$),इसलिए $\Delta E > 0$,जिसका अर्थ है $E_{i} > E_{f}$।
गतिज ऊर्जा में यह हानि डिस्क की सतहों के बीच कार्य करने वाले घर्षण बल के विरुद्ध किए गए कार्य के कारण होती है,जब तक कि वे एक सामान्य कोणीय वेग प्राप्त नहीं कर लेतीं।
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बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य:
$(1)$ एक स्थिर कोणीय वेग के साथ घूमने वाली वस्तु का कोणीय त्वरण हमेशा शून्य होता है।
$(2)$ किसी वस्तु में ऊर्जा के बिना भी जड़त्व आघूर्ण हो सकता है।
$(3)$ किसी वस्तु की घूर्णन त्रिज्या एक स्थिर राशि है।
$(4)$ एक फिगर स्केटर अपने हाथ अंदर खींचने पर तेजी से घूमता है क्योंकि उसका जड़त्व आघूर्ण कम हो जाता है।
$(1)$ एक स्थिर कोणीय वेग के साथ घूमने वाली वस्तु का कोणीय त्वरण हमेशा शून्य होता है।
$(2)$ किसी वस्तु में ऊर्जा के बिना भी जड़त्व आघूर्ण हो सकता है।
$(3)$ किसी वस्तु की घूर्णन त्रिज्या एक स्थिर राशि है।
$(4)$ एक फिगर स्केटर अपने हाथ अंदर खींचने पर तेजी से घूमता है क्योंकि उसका जड़त्व आघूर्ण कम हो जाता है।
Medium
View Solution$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक पतली समान वृत्ताकार डिस्क अपने केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष पर $\omega$ कोणीय वेग के साथ एक क्षैतिज तल में घूम रही है। समान द्रव्यमान लेकिन आधी त्रिज्या वाली एक और डिस्क को धीरे से इसके ऊपर समाक्षीय रूप से रखा जाता है। संयुक्त डिस्क की कोणीय गति क्या होगी?
Easy
View Solution$l$ लंबाई और $m$ द्रव्यमान की एक पतली एकसमान छड़ अपने सिरे से गुजरने वाली क्षैतिज अक्ष के परितः स्वतंत्र रूप से दोलन कर रही है। इसकी अधिकतम कोणीय चाल $\omega$ है। इसका द्रव्यमान केंद्र अधिकतम कितनी ऊँचाई तक ऊपर उठता है?
MediumAIEEE 2009
View Solution$R$ त्रिज्या वाले एक समान बेलन को उसकी अक्ष के परितः $\omega$ कोणीय वेग से घुमाया जाता है और फिर एक कोने में रखा जाता है। बेलन और समतलों के बीच घर्षण गुणांक $\mu$ है। रुकने से पहले बेलन द्वारा लिए गए चक्करों की संख्या क्या होगी?
$a$ भुजा का एक घन $v$ वेग से चिकने क्षैतिज तल पर चल रहा है। चलते हुए यह क्षैतिज तल पर स्थित एक रेखीय उठे हुए अवरोध $O$ से (चित्रानुसार) टकराता है। $O$ से टकराने के बाद ब्लॉक की कोणीय चाल होगी
Difficult
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