$1 \, kg$ દળ ધરાવતા બે સમાન કણો $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં તેમની પરસ્પર ગુરુત્વાકર્ષણ આકર્ષણની અસર હેઠળ ફરે છે. દરેક કણની કોણીય ઝડપ કેટલી હશે?

સમાન ઘનતા અને $4$ એકમ ત્રિજ્યા ધરાવતો એક નક્કર ગોળો યામ પદ્ધતિના ઉગમબિંદુ $O$ પર કેન્દ્રિત છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $A(-2, 0, 0)$ અને $B(2, 0, 0)$ પર કેન્દ્ર ધરાવતા $1$ એકમ ત્રિજ્યાના બે સમાન ગોળાઓને નક્કર પદાર્થમાંથી બહાર કાઢી લેવામાં આવે છે,જેનાથી ગોળાકાર પોલાણ બને છે.

એક સર્પાકાર ગેલેક્સીને $z=0$ પર સ્થિત સમાન સપાટી દળ ઘનતા ધરાવતી અતિ પાતળી ડિસ્ક તરીકે ગણી શકાય. બે તારાઓ $A$ અને $B$ અનુક્રમે $2z_{0}$ અને $z_{0}$ (જ્યાં $z_{0} \ll$ ડિસ્કનો ત્રિજ્યાવર્તી વિસ્તાર) ઊંચાઈએથી સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ કરીને ડિસ્ક તરફ પડે છે,બીજી બાજુ જાય છે અને આવર્ત ગતિ કરે છે. $A$ અને $B$ ના આવર્તકાળનો ગુણોત્તર કેટલો છે?

એક સમાન ઘનતા અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળાને કારણે,ગોળાના કેન્દ્રથી $3 R$ અંતરે રહેલા કણ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_1$ છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ હવે ગોળામાં $(R / 2)$ ત્રિજ્યાનો એક ગોળાકાર કાણું પાડવામાં આવે છે. હવે આ કાણાવાળો ગોળો તે જ કણ પર $F_2$ બળ લગાડે છે. $F_1$ અને $F_2$ નો ગુણોત્તર શોધો.

ગ્રહ $A$ ની સપાટી નજીક પદાર્થનો કક્ષીય વેગ એ ગ્રહ $B$ પરથી પદાર્થના નિષ્ક્રમણ વેગ જેટલો છે. જો ગ્રહ $A$ અને $B$ ના દળ સમાન હોય,તો તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર કેટલો થાય?

$Assertion$: અવકાશ રોકેટ સામાન્ય રીતે વિષુવવૃત્તીય રેખા પર પશ્ચિમથી પૂર્વ દિશામાં છોડવામાં આવે છે.
$Reason$: ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ વિષુવવૃત્ત પર ન્યૂનતમ હોય છે.