બે કણો $P$ અને $Q$ જે બિંદુઓ $P(t, t^3 - 16t - 3)$ અને $Q(t + 1, t^3 - 6t - 6)$ પર સ્થિત છે,તે સમતલમાં ગતિ કરી રહ્યા છે. તેમની ગતિ દરમિયાન બિંદુઓ વચ્ચેનું ન્યૂનતમ અંતર કેટલું છે?

વિધેય $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$ ની મહત્તમ કિંમત જ્યારે $x$ હોય ત્યારે મળે છે

ધારો કે $S=(-1, \infty)$ અને $f: S \rightarrow R$ એ $f(x)=\int_{-1}^x (e^t-1)^{11}(2t-1)^5(t-2)^7(t-3)^{12}(2t-10)^{61} dt$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. ધારો કે $p$ એ $x$ ની એવી કિંમતોના વર્ગોનો સરવાળો છે જ્યાં $f(x)$ એ $S$ પર સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે,અને $q$ એ $x$ ની એવી કિંમતોનો સરવાળો છે જ્યાં $f(x)$ એ $S$ પર સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે. તો,$p^2+2q$ નું મૂલ્ય શોધો.

$2x$,$4x$ અને $5x$ બાજુઓ ધરાવતા લંબઘન અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બંધ અર્ધગોલકનો વિચાર કરો. જો તેમના પૃષ્ઠફળનો સરવાળો અચળ $k$ હોય,તો $x:r$ નો ગુણોત્તર શોધો જેના માટે તેમના ઘનફળનો સરવાળો મહત્તમ થાય.

વિધેય $f(x) = -|x+1| + 3, x \in R$ ની મહત્તમ કિંમત . . . . . . છે.

ધારો કે $k$ અને $K$ એ વિધેય $f(x) = \frac{(1 + x)^{0.6}}{1 + x^{0.6}}$ ની $[0, 1]$ અંતરાલમાં ન્યૂનતમ અને મહત્તમ કિંમતો છે,તો ક્રમયુક્ત જોડ $(k, K)$ બરાબર શું થાય?